{ }^{a} Questão.
Considere a curva no espaço dada pelo vetor posição:
\vec{r}(t)=(t, \operatorname{sen} t, \cos t)
(1) Encontre os vetores tangente \vec{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r^{\prime}}(t)}{\left\|\overrightarrow{r^{\prime}}(t)\right\|}, normal \vec{N}(t)=\frac{\vec{T}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{T}^{\prime}(t)\right\|}, e binormal \vec{B}(t)=\vec{T}(t) \times \vec{N}(t) no ponto correspondente a t=0.
(2) Calcule a curvatura da curva no ponto t=0, dada por
\kappa(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t) \times \vec{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}

Passo 1

O enunciado pede primeiro os vetores tangente \vec T(0), normal \vec N(0) e binormal \vec B(0) da curva
\vec r(t) = (\,t,\;\sin t,\;\cos t\,)
no instante t=0. Depois, pede a curvatura
\kappa(0)=\frac{\bigl\|\vec r'(0)\times\vec r''(0)\bigr\|}{\bigl\|\vec r'(0)\bigr\|^{3}}.
Para isso vamos precisar de derivadas de \vec r, normalização de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Calcular \vec r'(t) e avaliar em t=0.
\vec r'(t) = \bigl(1,\;\cos t,\;-\,\sin t\bigr),
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\vec r'(0) = (1,\,1,\,0).
O comprimento é
\bigl\|\vec r'(0)\bigr\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}.
Portanto o vetor tangente em 0 é
\vec T(0) = \frac{\vec r'(0)}{\|\vec r'(0)\|} = \Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2},\;0\Bigr).

Passo 3

Como \|\vec r'(t)\| é constante ( \sqrt2), temos
\vec T(t) = \frac1{\sqrt2}\,\bigl(1,\;\cos t,\;-\,\sin t\bigr).
Diferenciando,
\vec T'(t) = \frac1{\sqrt2}\,\bigl(0,\;-\,\sin t,\;-\,\cos t\bigr),
e em t=0
\vec T'(0) = \frac1{\sqrt2}\,(0,\,0,\,-1).
O comprimento de \vec T'(0) é \tfrac1{\sqrt2}, então o vetor normal principal é
\vec N(0) = \frac{\vec T'(0)}{\|\vec T'(0)\|} = (0,\,0,\,-1).

Passo 4

O vetor binormal é dado por \vec B(0)=\vec T(0)\times \vec N(0). Assim,
\vec B(0) = \Bigl(\tfrac1{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2},\;0\Bigr) \times (0,\,0,\,-1) = \bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\;\tfrac1{\sqrt2},\;0\bigr).

Passo 5

Para a curvatura, precisamos de \vec r''(t) e do produto vetorial em t=0.
\vec r''(t) = \bigl(0,\;-\,\sin t,\;-\,\cos t\bigr),
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\vec r''(0) = (0,\,0,\,-1).
O produto vetorial é
\vec r'(0)\times \vec r''(0) = (1,\,1,\,0)\times (0,\,0,\,-1) = (-1,\,1,\,0),
com comprimento \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt2. Assim
\kappa(0) = \frac{\sqrt2}{\bigl(\sqrt2\bigr)^{3}} = \frac{\sqrt2}{2\sqrt2} = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \vec T(0)=\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2},0\bigr),\quad \vec N(0)=(0,0,-1),\quad \vec B(0)=\bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2},0\bigr),\quad \kappa(0)=\tfrac12.

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