{ }^{a} Questão.
Considere a função:
f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-y^{2}\right)
(1) Determine o domínio de f.
(2) Calcule o gradiente \nabla f(x, y).
(3) Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor
\vec{v}=(3,4) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr)
e pede:
(1) o domínio de f;
(2) o gradiente \nabla f(x,y);
(3) a derivada direcional de f em (1,2) na direção do vetor \vec v=(3,4).
Para isso vamos usar:
  • a condição do logaritmo exigir argumento positivo;
  • a definição de gradiente via derivadas parciais;
  • a derivada direcional como produto escalar \nabla f(p)\cdot \mathbf u, onde \mathbf u é o vetor unitário na direção de \vec v.

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de pontos (x,y) em que o argumento do logaritmo é estritamente positivo:
9 - x^2 - y^2 > 0
ou seja
\{(x,y)\mid x^2 + y^2 < 9\}.

Passo 3

Para calcular o gradiente usamos
\frac{\partial}{\partial x}\ln\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr) =\frac{1}{9 - x^2 - y^2}\cdot(-2x) =-\frac{2x}{9 - x^2 - y^2},
\frac{\partial}{\partial y}\ln\bigl(9 - x^2 - y^2\bigr) =\frac{1}{9 - x^2 - y^2}\cdot(-2y) =-\frac{2y}{9 - x^2 - y^2}.
Logo,
\nabla f(x,y) =\Bigl(-\frac{2x}{9 - x^2 - y^2},\,-\frac{2y}{9 - x^2 - y^2}\Bigr).

Passo 4

Primeiro normalizamos \vec v=(3,4). O comprimento de \vec v é
\|\vec v\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5,
então o vetor unitário é
\mathbf u=\Bigl(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\Bigr).
Em seguida avaliamos o gradiente em (1,2). Como
9 - 1^2 - 2^2 = 9 - 1 - 4 = 4,
temos
\nabla f(1,2) =\Bigl(-\frac{2\cdot1}{4},\,-\frac{2\cdot2}{4}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac12,\,-1\Bigr).
Por fim, a derivada direcional é
D_{\mathbf u}f(1,2) =\nabla f(1,2)\cdot\mathbf u =\Bigl(-\tfrac12,\,-1\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr) =-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}-1\cdot\frac{4}{5} =-\frac{3}{10}-\frac{4}{5} =-\frac{3}{10}-\frac{8}{10} =-\frac{11}{10}.

Resposta

(1) \{(x,y)\mid x^2+y^2<9\}
(2) \displaystyle \nabla f(x,y)=\Bigl(-\frac{2x}{9 - x^2 - y^2},\,-\frac{2y}{9 - x^2 - y^2}\Bigr)
(3) -\tfrac{11}{10}

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