Questão.
Considere a função:
(1) Determine o domínio de
.
(2) Calcule o gradiente
.
(3) Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
(2) Calcule o gradiente
(3) Encontre a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(1) o domínio de ;
(2) o gradiente ;
(3) a derivada direcional de em
na direção do vetor
.
(1) o domínio de
(2) o gradiente
(3) a derivada direcional de
Para isso vamos usar:
- a condição do logaritmo exigir argumento positivo;
- a definição de gradiente via derivadas parciais;
- a derivada direcional como produto escalar
, onde é o vetor unitário na direção de .
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de pontos
em que o argumento do logaritmo é estritamente positivo:
ou seja
Passo 3
Para calcular o gradiente usamos
Logo,
Passo 4
Primeiro normalizamos
. O comprimento de
é
então o vetor unitário é
Em seguida avaliamos o gradiente em
. Como
temos
Por fim, a derivada direcional é
Resposta
(1)
(2)
(3)
(2)
(3)