Parametrize as curvas planas abaixo:
C5=(x, y) in R^2 ; x^4-y^4=x y, 12 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrize a curva plana C5 definida por x^4 - y^4 = xy , com a condição 12 <= y <= x . Vamos usar conhecimentos de parametrização de curvas no plano, que envolvem expressar as coordenadas x e y em função de um parâmetro, geralmente denotado por t . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação dada e encontrar expressões para x e y que satisfaçam a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação x^4 - y^4 = xy . Observe que podemos reescrever x^4 - y^4 como uma diferença de quadrados:
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)
Então, a equação fica:
(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = xy
Isso nos leva a pensar em expressões que relacionam x e y de uma forma que possamos isolar uma das variáveis em termos da outra.

Passo 3

Vamos tentar expressar y em termos de x . Vamos supor que y = kx , onde k é uma constante que relaciona y e x . Substituindo isso na equação original:
(x^2 - (kx)^2)(x^2 + (kx)^2) = x(kx)
Simplificando:
(x^2 - k^2x^2)(x^2 + k^2x^2) = kx^2
x^2(1 - k^2) cdot x^2(1 + k^2) = kx^2
x^4(1 - k^4) = kx^2
Dividindo ambos os lados por x^2 (assumindo x neq 0 ):
x^2(1 - k^4) = k

Passo 4

Agora, isolamos x^2 :
x^2 = k1 - k^4
Para que x^2 seja real e positivo, o denominador 1 - k^4 deve ser positivo, ou seja, k^4 < 1 . Isso significa que |k| < 1 .
Agora, podemos expressar x e y em termos de k :
x = raizk1 - k^4
y = kx = k raizk1 - k^4

Passo 5

Agora, escolhemos um parâmetro t que substituímos por k para simplificar a expressão. Portanto, temos:
t = k
Substituindo k por t :
x(t) = raizt1 - t^4
y(t) = t raizt1 - t^4

Passo 6

Para resumir, a parametrização da curva [C_{5}) é dada por:
Onde o parâmetro , o que impõe restrições adicionais sobre o intervalo de para que a parametrização seja válida.

Resposta

A parametrização da curva [C_{5}) é:
onde .

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