Beleza, vamos lá! O enunciado pede para parametrize a curva plana definida por , com a condição . Vamos usar conhecimentos de parametrização de curvas no plano, que envolvem expressar as coordenadas e em função de um parâmetro, geralmente denotado por . Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação dada e encontrar expressões para e que satisfaçam a condição.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação . Observe que podemos reescrever como uma diferença de quadrados:
Então, a equação fica:
Isso nos leva a pensar em expressões que relacionam e de uma forma que possamos isolar uma das variáveis em termos da outra.
Passo 3
Vamos tentar expressar em termos de . Vamos supor que , onde é uma constante que relaciona e . Substituindo isso na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Passo 4
Agora, isolamos :
Para que seja real e positivo, o denominador deve ser positivo, ou seja, . Isso significa que .
Agora, podemos expressar e em termos de :
Passo 5
Agora, escolhemos um parâmetro que substituímos por para simplificar a expressão. Portanto, temos:
Substituindo por :
Passo 6
Para resumir, a parametrização da curva [C_{5}) é dada por:
Onde o parâmetro , o que impõe restrições adicionais sobre o intervalo de para que a parametrização seja válida.