Parametrize o segmento de reta que liga (0,1,0) a ( 2,3,4 ) através de um movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade i+j+2 k. Indique o intervalo do parâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para parametrizar o segmento de reta que liga os pontos (0,1,0) e (2,3,4) usando um movimento retilíneo uniforme com vetor velocidade i + j + 2k. Basicamente, vamos encontrar uma equação que descreva esse movimento de forma simples, e também determinar o intervalo do parâmetro que representa o tempo ou a posição no trajeto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma parametrização de um segmento de reta. A parametrização nos permite representar os pontos de uma reta usando uma variável, geralmente t, que varia em um intervalo específico. A forma geral da parametrização é:
r(t) = r0 + vt
Aqui, r0 é o ponto de partida, v é o vetor velocidade, e t é o parâmetro.

Passo 3

Identificando os pontos dados: o ponto de partida é r0 = (0,1,0) e o ponto final é r1 = (2,3,4). O vetor velocidade fornecido é v = i + j + 2k, que em coordenadas fica (1,1,2).

Passo 4

Vamos escrever a equação paramétrica para cada coordenada:
x(t) = x0 + vx t y(t) = y0 + vy t z(t) = z0 + vz t
Substituindo os valores:
x(t) = 0 + 1 cdot t = t y(t) = 1 + 1 cdot t = 1 + t z(t) = 0 + 2 cdot t = 2t

Passo 5

Agora, precisamos determinar o intervalo do parâmetro t que faz com que o ponto se mova de r0 até r1. Para isso, vamos encontrar o valor de t que leva a x(t) de 0 a 2.
x(t) = t = 2 implies t = 2
Então, t varia de 0 a 2.

Resposta

A parametrização do segmento de reta é:
r(t) = (t, 1 + t, 2t), com t in [0, 2]

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