Parametrize as curvas abaixo:
5 y^2-6 x-3 x^2-10 y-13=0

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva dada por
5y^2-6x-3x^2-10y-13=0
O conteúdo principal é identificação e parametrização de uma cônica (hipérbole). Para isso vamos usar completar quadrados e a forma padrão da hipérbole, depois aplicar uma parametrização com funções hiperbólicas.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando em x e y e completando quadrados:
-3l(x^2+2xr)+5l(y^2-2yr)-13=0
Completar quadrado em cada grupo:
x^2+2x=(x+1)^2-1, y^2-2y=(y-1)^2-1
Substituindo e simplificando obtemos
-3(x+1)^2+3+5(y-1)^2-5-13=0
ou seja
5(y-1)^2-3(x+1)^2=15

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 15 chegamos à forma padrão da hipérbole:
(y-1)^23-(x+1)^25=1
Aqui o centro é (-1,1), o semieixo transverso vertical é a=raiz3 e o semieixo conjugado horizontal é b=raiz5.

Passo 4

Para uma hipérbole na forma
Y^2a^2-X^2b^2=1
uma parametrização padrão usa-se funções hiperbólicas:
Y=acosh t, X=bsinh t, tinR
No nosso caso fazemos a troca
Y=y-1, X=x+1, a=raiz3, b=raiz5

Resposta

Os dois ramos da hipérbole ficam parametrizados por
y=1pmraiz3,cosh t, x=-1+raiz5,sinh t, tinR

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