Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G=F. F=2 y i+2 z j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente verificar que a divergência do campo vetorial F é zero e, em seguida, encontrar todos os campos vetoriais G tais que o rotacional de G seja igual a F. O campo dado é F = 2y,i + 2z,j. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergência e rotacional de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = Fx,i + Fy,j + Fz,k é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = 2y,i + 2z,j. Isso significa que:
Fx = 2y, Fy = 2z, Fz = 0
Agora, calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = partial (2y)partial x = 0
partial Fypartial y = partial (2z)partial y = 0
partial Fzpartial z = partial 0partial z = 0
Somando tudo:
div F = 0 + 0 + 0 = 0
Então, de fato, a divergência de F é zero.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais G tais que o rotacional de G seja igual a F. Ou seja:
rot G = F
O rotacional de um campo vetorial G = Gx,i + Gy,j + Gz,k é dado por:
rot G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z )i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x )j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y )k
Sabemos que F = 2y,i + 2z,j + 0,k. Então, podemos igualar as componentes:
partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 2y (1)
partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = 2z (2)
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = 0 (3)
Vamos resolver esse sistema de equações parciais para encontrar G.

Passo 4

Vamos começar pela equação (3):
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = 0
Isso implica que existe uma função escalar potencial phi tal que:
Gx = partial phipartial y, Gy = partial phipartial x
Mas para simplificar, podemos assumir que Gx e Gy são independentes de certas variáveis, introduzindo funções arbitrárias. Vamos supor que Gx depende apenas de y e Gy apenas de x e z. No entanto, para resolver de forma geral, precisamos integrar as equações (1) e (2).

Passo 5

Vamos resolver a equação (1):
partial Gzpartial y - partial Gypartial z = 2y
Podemos rearranjar para:
partial Gzpartial y = 2y + partial Gypartial z
Vamos integrar ambos os lados em relação a y:
Gz = y^2 + partial Gypartial z cdot y + psi(x, z)
Onde psi(x, z) é uma função arbitrária de x e z.

Passo 6

Agora, vamos usar a equação (2):
partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = 2z
Substituindo Gz da etapa anterior:
partial Gxpartial z - partialpartial x ( y^2 + partial Gypartial z cdot y + psi(x, z) ) = 2z
Simplificando:
partial Gxpartial z - partial psipartial x = 2z
Podemos escolher psi de modo que partial psipartial x = 0, ou seja, psi depende apenas de z. Então, a equação se torna:
partial Gxpartial z = 2z
Integrando em relação a z:
Gx = z^2 + phi(x, y)
Onde phi(x, y) é uma função arbitrária de x e y.

Passo 7

Agora, vamos reunir as informações. Sabemos que:
Gx = z^2 + phi(x, y)
Gz = y^2 + partial Gypartial z cdot y + psi(z)
E da equação (3):
partial Gypartial x - partial Gxpartial y = 0
Substituindo Gx:
partial Gypartial x - partial phipartial y = 0 Rightarrow partial Gypartial x = partial phipartial y
Isso sugere que:
Gy = phi(x, y) cdot x + chi(y, z)
Onde chi(y, z) é uma função arbitrária de y e z.

Passo 8

Para simplificar, podemos escolher phi(x, y) = 0 e chi(y, z) = 0, o que nos dá:
Gx = z^2
Gy = 0
Gz = y^2 + psi(z)
Mas ainda precisamos que rot G = F = 2y,i + 2z,j. Verificando:
rot G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z )i + ( partial Gxpartial z - partial Gzpartial x )j + ( partial Gypartial x - partial Gxpartial y )k
Com Gy = 0, temos:
rot G = ( 2y - 0 )i + ( 2z - 0 )j + ( 0 - 0 )k = 2y,i + 2z,j
Perfeito! Isso satisfaz rot G = F.

Resposta

Todos os campos vetoriais G que satisfazem rot G = F são da forma:
G = z^2,i + C,j + y^2,k
Onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados