Verifique que
e determine todos os campos de vetores
, tais que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente verificar que a divergência do campo vetorial
é zero e, em seguida, encontrar todos os campos vetoriais
tais que o rotacional de
seja igual a
. O campo dado é
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de divergência e rotacional de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
. Isso significa que:
Agora, calculando cada derivada:
Somando tudo:
Então, de fato, a divergência de
é zero.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais
tais que o rotacional de
seja igual a
. Ou seja:
O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Sabemos que
. Então, podemos igualar as componentes:
Vamos resolver esse sistema de equações parciais para encontrar
.
Passo 4
Vamos começar pela equação (3):
Isso implica que existe uma função escalar potencial
tal que:
Mas para simplificar, podemos assumir que
e
são independentes de certas variáveis, introduzindo funções arbitrárias. Vamos supor que
depende apenas de
e
apenas de
e
. No entanto, para resolver de forma geral, precisamos integrar as equações (1) e (2).
Passo 5
Vamos resolver a equação (1):
Podemos rearranjar para:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 6
Agora, vamos usar a equação (2):
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Podemos escolher
de modo que
, ou seja,
depende apenas de
. Então, a equação se torna:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 7
Agora, vamos reunir as informações. Sabemos que:
E da equação (3):
Substituindo
:
Isso sugere que:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 8
Para simplificar, podemos escolher
e
, o que nos dá:
Mas ainda precisamos que
. Verificando:
Com
, temos:
Perfeito! Isso satisfaz
.
Resposta
Todos os campos vetoriais
que satisfazem
são da forma:
Onde
é uma constante qualquer.