Parametrize as curvas planas abaixo:
C4=(x, y) in R^2 ; x^24+y^2=1, x >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa parametrizar a curva C4, que é a parte da elipse definida por x^24 + y^2 = 1 onde x >= 0. Basicamente, vamos trabalhar com parametrização de curvas planas, mais especificamente de elipses. Para isso, vamos usar funções trigonométricas que ajudam a descrever a posição dos pontos na elipse conforme um parâmetro muda.

Passo 2

Primeiro, lembremos como parametrizar uma elipse geral. A equação padrão de uma elipse com semi-eixos [a) e é:
A parametrização dessa elipse usa o seno e o cosseno:
Aqui, a , cobrindo toda a elipse.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa elipse específica x^24 + y^2 = 1. Comparando com a equação geral, vemos que:
a^2 = 4 Rightarrow a = 2 b^2 = 1 Rightarrow b = 1
Então, os semi-eixos são a = 2 e b = 1.

Passo 4

Com esses valores, a parametrização da elipse fica:
x(t) = 2 cdot cos(t) y(t) = 1 cdot sin(t) = sin(t)

Passo 5

Mas atenção! A curva C4 só inclui os pontos onde x >= 0. Então, precisamos determinar para quais valores de t a coordenada x(t) é maior ou igual a zero:
x(t) = 2 cos(t) >= 0 Rightarrow cos(t) >= 0
O cosseno é positivo quando t está entre -pi2 e pi2. Portanto, o parâmetro t deve variar nesse intervalo.

Resposta

Uma parametrização para a curva [C_{4}) é:
onde a .

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