Parametrize as curvas planas abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa parametrizar a curva
, que é a parte da elipse definida por
onde
. Basicamente, vamos trabalhar com parametrização de curvas planas, mais especificamente de elipses. Para isso, vamos usar funções trigonométricas que ajudam a descrever a posição dos pontos na elipse conforme um parâmetro muda.
Passo 2
Primeiro, lembremos como parametrizar uma elipse geral. A equação padrão de uma elipse com semi-eixos [a) e
é:
A parametrização dessa elipse usa o seno e o cosseno:
Aqui, a
, cobrindo toda a elipse.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa elipse específica
. Comparando com a equação geral, vemos que:
Então, os semi-eixos são
e
.
Passo 4
Com esses valores, a parametrização da elipse fica:
Passo 5
Mas atenção! A curva
só inclui os pontos onde
. Então, precisamos determinar para quais valores de
a coordenada
é maior ou igual a zero:
O cosseno é positivo quando
está entre
e
. Portanto, o parâmetro
deve variar nesse intervalo.
Resposta
Uma parametrização para a curva [C_{4}) é:
onde a
.