Parametrize S.
S é a superfície definida por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, de modo que 1 \leq z \leq 5.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da superfície S dada por
z = \sqrt{x^2 + y^2},
restrita ao trecho em que 1 \le z \le 5.
O conteúdo envolve usar coordenadas cilíndricas para descrever cones ou troncos de cones.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
A condição z = \sqrt{x^2+y^2} fica
z = r.
Logo sobre S vale sempre r = z.

Passo 3

Basta então escolher os parâmetros
u = r = z,\quad \theta = \theta,
com u variando de 1 a 5 e \theta de 0 a 2\pi. A parametrização é
\mathbf{r}(u,\theta) = \bigl(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;u\bigr),
com domínio
1 \le u \le 5,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(u,\theta) = \bigl(u\cos\theta,\;u\sin\theta,\;u\bigr),\quad (u,\theta)\in[1,5]\times[0,2\pi].}

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