(2,8 pontos) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha \int_{C} F. d r, onde F(x, y)=(x+y, y) e C são os segmentos da curva y=x^{2}-1 que vão do ponto (-1,0) a (1,0), e depois de (1,0) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r,
onde F(x,y)=(P,Q)=(x+y,y) e C é a curva aberta formada por:
C_{1}: o arco da parábola y=x^{2}-1 de (-1,0) até (1,0),
C_{2}: o segmento de reta de (1,0) até (0,0).
Vamos usar o Teorema de Green “fechando” essa curva aberta e depois corrigir.

Passo 2

Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada e orientação positiva (contra-horária).
Fechamos C_{1}\cup C_{2} com o segmento C_{3} de (0,0) a (-1,0) ao longo do eixo x.
Chamemos \Gamma=C_{1}+C_{2}+C_{3} com orientação contra-horária.

Passo 3

O Teorema de Green diz
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{A}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde A é a região entre a parábola y=x^{2}-1 e o eixo x para -1\le x\le1.
Aqui
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (y)}{\partial x}=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x+y)}{\partial y}=1,
logo o integrando é 0-1=-1.

Passo 4

Calculemos a integral dupla sobre A:
\iint_{A}(-1)\,dA =-\iint_{A}1\,dA =-\text{Área}(A).Á
A área de A é
\int_{x=-1}^{1}\bigl[0-(x^{2}-1)\bigr]dx =\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx =\bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} =(1-\tfrac13)-(-1+\tfrac13) =\tfrac{4}{3}.
Portanto
\oint_{\Gamma}P\,dx+Q\,dy =-\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Como \Gamma=C_{1}+C_{2}+C_{3}, temos
\int_{C_{1}}F\cdot d r +\int_{C_{2}}F\cdot d r +\int_{C_{3}}F\cdot d r =-\tfrac{4}{3}.
Nosso alvo é \int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}, então precisamos de \int_{C_{3}}.
No trecho C_{3}\!: (x,0), x vai de 0 a -1, temos dx=dx, dy=0,
P(x,0)\,dx+Q(x,0)\,dy =(x+0)\,dx+0 =x\,dx.
Logo
\int_{C_{3}}F\cdot d r =\int_{0}^{-1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{-1} =\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Isolando o que queremos:
\int_{C_{1}}F\cdot d r +\int_{C_{2}}F\cdot d r =-\tfrac{4}{3} -\int_{C_{3}}F\cdot d r =-\tfrac{4}{3}-\tfrac{1}{2} =-\tfrac{8}{6}-\tfrac{3}{6} =-\tfrac{11}{6}.

Resposta

\boxed{-\tfrac{11}{6}}.

Exercícios relacionados