(2,8 pontos) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
.
, onde
e
são os segmentos da curva
que vão do ponto
a
, e depois de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é a curva aberta formada por:
– : o arco da parábola
de
até
,
– : o segmento de reta de
até
.
Vamos usar o Teorema de Green “fechando” essa curva aberta e depois corrigir.
–
–
Vamos usar o Teorema de Green “fechando” essa curva aberta e depois corrigir.
Passo 2
Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada e orientação positiva (contra-horária).
Fechamos com o segmento
de
a
ao longo do eixo
.
Chamemos com orientação contra-horária.
Fechamos
Chamemos
Passo 3
O Teorema de Green diz
onde
é a região entre a parábola
e o eixo
para
.
Aqui
Aqui
logo o integrando é
.
Passo 4
Calculemos a integral dupla sobre
:
A área de
é
Portanto
Passo 5
Como
, temos
Nosso alvo é
, então precisamos de
.
No trecho ,
vai de
a
, temos
,
,
No trecho
Logo
Passo 6
Isolando o que queremos: