3 Questão: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é a elipse
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é a elipse
, percorrida no sentido anti‐horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
onde
e
, e
é a região interna à elipse.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Logo, o integrando do duplo é
Passo 3
Pela fórmula de Green,
Passo 4
A região
é dada por
. Integramos primeiro em
: para cada
,
varia de
a
. Assim
Passo 5
Como a função
é par em
, podemos dobrar a integral de
a
. Logo
Portanto, voltando ao sinal negativo de Green,