3 Questão: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
\oint_{C} \operatorname{tg} y d x-x \operatorname{tg}^{2} y d y
onde C é a elipse x^{2}+4 y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}\bigl(\tan y\,dx \;-\;x\,\tan^{2}y\,dy\bigr)
onde C é a elipse x^{2}+4y^{2}=1, percorrida no sentido anti‐horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA,
onde P(x,y)=\tan y e Q(x,y)=-x\tan^{2}y, e D é a região interna à elipse.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x\tan^{2}y\bigr)=-\tan^{2}y,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tan y\bigr)=\operatorname{sec}^{2}y.
Logo, o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-\tan^{2}y-\operatorname{sec}^{2}y=-(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y).

Passo 3

Pela fórmula de Green,
\oint_{C}\bigl(\tan y\,dx - x\tan^{2}y\,dy\bigr) =\iint_{D} \bigl[-(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\bigr]\,dA =-\iint_{D}\bigl(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y\bigr)\,dA.

Passo 4

A região D é dada por x^{2}+4y^{2}\le1. Integramos primeiro em x: para cada y\in[-\tfrac12,\tfrac12], x varia de -\sqrt{1-4y^{2}} a +\sqrt{1-4y^{2}}. Assim
\iint_{D}(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dA =\int_{y=-\tfrac12}^{\tfrac12}\!\int_{x=-\sqrt{1-4y^{2}}}^{\sqrt{1-4y^{2}}} (\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dx\,dy =\int_{-1/2}^{1/2}2\sqrt{1-4y^{2}}\;(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dy.

Passo 5

Como a função \sqrt{1-4y^{2}}(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y) é par em y, podemos dobrar a integral de 0 a \tfrac12. Logo
\iint_{D}(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dA =2\int_{0}^{1/2}2\sqrt{1-4y^{2}}\;(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dy =4\int_{0}^{1/2}\sqrt{1-4y^{2}}\;(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y)\,dy.
Portanto, voltando ao sinal negativo de Green,

Resposta

\oint_{C}\bigl(\tan y\,dx - x\tan^{2}y\,dy\bigr) =-4\int_{0}^{1/2}\sqrt{1-4y^{2}}\;\bigl(\tan^{2}y+\operatorname{sec}^{2}y\bigr)\,dy.

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