Os parâmetros por fase para um motor de indução 400 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, trifásico, ligação estrela, 4 pólos, são:
\begin{array}{lll} \mathrm{r}_{1}=0,2 \Omega & \mathrm{x}_{1}=0,5 \Omega & \mathrm{x}_{\mathrm{m}}=20 \Omega \\\ \mathrm{r}_{2}=0,1 \Omega & \mathrm{x}_{2}=0,2 \Omega & \end{array}
Se as perdas totais mecânicas no ferro, a 1.755 rpm são 800 W , calcular:
a) Corrente de entrada
b) Potência ativa de entrada
c) Potência de saída
d) Conjugado de saída
e) Rendimento

Passo 1

O enunciado dá um motor trifásico ligado em estrela com os parâmetros por fase e pede várias grandezas elétricas e mecânicas. Vou listar explicitamente o que é dado e o que é pedido.
Dados (todos por fase):
\begin{aligned} &r_1=0{,}2\\ \Omega,\quad x_1=0{,}5\\ \Omega,\quad x_m=20\\ \Omega,\\\ &r_2=0{,}1\\ \Omega,\quad x_2=0{,}2\\ \Omega. \end{aligned}
Tensão de linha: \,400\\ \mathrm{V}. Frequência: \,60\\ \mathrm{Hz}. Ligação: estrela. Número de polos: 4. Velocidade mecânica dada: \,1755\\ \mathrm{rpm}. Perdas (mecânicas + no ferro) totais: \,800\\ \mathrm{W} (essas perdas devem ser subtraídas da potência desenvolvida para obter a potência de saída).
O que se pede:
a) Corrente de entrada (valor eficaz, linha).
b) Potência ativa de entrada.
c) Potência de saída.
d) Conjugado (torque) de saída.
e) Rendimento.

Passo 2

Primeiros cálculos básicos que vamos usar em todas as etapas: tensão por fase, velocidade síncrona e escorregamento.
Tensão por fase (ligação estrela):
V_{\text{ph}}=\frac{400}{\sqrt{3}} \\ \mathrm{V}.
Calculando numericamente:
V_{\text{ph}} \approx \frac{400}{1{,}73205}\approx 230{,}94\\ \mathrm{V}.
Velocidade síncrona (em rpm) para f=60\\ \mathrm{Hz} e p=4 polos:
n_s=\frac{120\,f}{p}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.
Escorregamento:
s=\frac{n_s-n}{n_s}=\frac{1800-1755}{1800}=\frac{45}{1800}=0{,}025.
Vou usar esses valores adiante.

Passo 3

Montagem do circuito equivalente por fase e cálculo da impedância equivalente total por fase.
A impedância do circuito que alimenta cada fase é:
Z_{\text{tot}}=r_1 + jx_1 \;+\; \left( \frac{1}{\dfrac{1}{j x_m}+\dfrac{1}{r_2/s + jx_2}} \right),
ou seja, r_1+jx_1 em série com o paralelo entre j x_m e Z_r=r_2/s + j x_2.
Calculemos r_2/s:
\frac{r_2}{s}=\frac{0{,}1}{0{,}025}=4{,}0\\ \Omega.
Então
Z_r = \frac{r_2}{s}+ jx_2 = 4{,}0 + j0{,}2\\ \Omega.
O ramo magnetizante é Z_m=j x_m = j20\\ \Omega.
Agora calculamos o equivalente paralelo Z_p entre Z_r e Z_m:
Z_p = \frac{Z_r\;Z_m}{Z_r + Z_m}.
Substituindo:
Z_r+Z_m = (4{,}0 + j0{,}2) + j20 = 4{,}0 + j20{,}2.
Z_r Z_m = (4{,}0 + j0{,}2)\cdot j20 = -4{,}0 + j80{,}0.
Fazendo a divisão (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador):
Z_p=\frac{-4 + j80}{4 + j20{,}2} =\frac{1600 + j400{,}8}{424{,}04} \approx 3{,}773 + j0{,}945\\ \Omega.
Somando com r_1+jx_1:
Z_{\text{tot}} = (0{,}2 + j0{,}5) + (3{,}773 + j0{,}945) = 3{,}973 + j1{,}445\\ \Omega.
Módulo de Z_{\text{tot}}:
|Z_{\text{tot}}|=\sqrt{3{,}973^2 + 1{,}445^2} \approx 4{,}229\\ \Omega.
Ângulo de fase (deslocamento entre V e I):
\cos\varphi=\frac{\Re(Z_{\text{tot}})}{|Z_{\text{tot}}|}=\frac{3{,}973}{4{,}229}\approx 0{,}9397.

Passo 4

Cálculo da corrente de entrada (corrente de linha). Em estrela a corrente de linha é igual à corrente de fase:
I_{\text{ph}}=\frac{V_{\text{ph}}}{|Z_{\text{tot}}|}.
Substituindo números:
I_{\text{ph}}\approx\frac{230{,}94}{4{,}229}\approx 54{,}62\\ \mathrm{A}.
Portanto a corrente de entrada (linha) é
I_{\text{linha}}=I_{\text{entrada}} \approx 54{,}62\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Potência ativa de entrada P_{\text{in}}.
Fórmula (trifásica, com tensão por fase e corrente de fase):
P_{\text{in}} = 3\,V_{\text{ph}} I_{\text{ph}} \cos\varphi.
Já calculamos V_{\text{ph}}, I_{\text{ph}} e \cos\varphi. Substituindo:
P_{\text{in}} \approx 3\cdot 230{,}94\cdot 54{,}62\cdot 0{,}9397 \approx 35\,581\\ \mathrm{W}.
(Arredondando: aproximadamente 35{,}58\\ \mathrm{kW}.)
Observação alternativa (checagem): também é válido calcular por P_{\text{in}}=3 I_{\text{ph}}^2 \Re(Z_{\text{tot}}); isso dá valor equivalente.

Passo 6

Cálculo da corrente que efetivamente passa no circuito do rotor (corrente do ramo Z_r), potência no entreferro (air-gap), perdas no rotor e potência mecânica desenvolvida.
Primeiro, a corrente que entra no paralelo Z_p é exatamente I_{\text{ph}}. Essa corrente se divide entre o ramo magnetizante Z_m=j20 e o ramo do rotor Z_r=4 + j0{,}2. Pela regra da divisão de corrente em dois ramos em paralelo:
I_2 = I_{\text{ph}}\cdot \frac{Z_m}{Z_r+Z_m}.
Calculamos o fator de divisão:
\frac{Z_m}{Z_r+Z_m}=\frac{j20}{4 + j20{,}2} \approx 0{,}952 + j0{,}1887.
Módulo desse fator \approx 0{,}9705. Assim
|I_2| \approx 54{,}62\cdot 0{,}9705\approx 53{,}02\\ \mathrm{A}.
Agora a potência transferida ao rotor (potência no entreferro, por fase) é dada por
P_{\text{ag, fase}} = |I_2|^2\cdot \frac{r_2}{s}.
Logo a potência total no entreferro (trifásica):
P_{\text{ag}} = 3\,|I_2|^2\cdot\frac{r_2}{s}.
Substituindo |I_2|^2 \approx 53{,}02^2 \approx 2811{,}1 e r_2/s=4{,}0\\ \Omega:
P_{\text{ag}} \approx 3\cdot 2811{,}1\cdot 4{,}0 \approx 33\,733\\ \mathrm{W}.
Perdas no cobre do rotor (rotor copper loss) são:
P_{\text{rot, cu}} = 3\,|I_2|^2 r_2 \approx 3\cdot 2811{,}1\cdot 0{,}1 \approx 843{,}3\\ \mathrm{W}.
A potência mecânica desenvolvida pelo rotor (antes de subtrair perdas mecânicas e no ferro) é:
P_{\text{dev}} = P_{\text{ag}} - P_{\text{rot, cu}} \approx 33\,733 - 843{,}3 \approx 32\,889{,}7\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Potência de saída: subtrair as perdas mecânicas + no ferro (dadas como 800\\ \mathrm{W}) da potência desenvolvida:
P_{\text{out}} = P_{\text{dev}} - 800 \approx 32\,889{,}7 - 800 \approx 32\,089{,}7\\ \mathrm{W}.
(Arredondando: 32{,}09\\ \mathrm{kW}.)
Checagem rápida das perdas totais:
  • Perdas no estator (cobre do estator): P_{\text{est, cu}}=3 I_{\text{ph}}^2 r_1 \approx 3\cdot 2983{,}34\cdot 0{,}2\approx 1\,790\\ \mathrm{W}.
  • Perdas no rotor (já calculadas): 843{,}3\\ \mathrm{W}.
  • Perdas mec./ferro: 800\\ \mathrm{W}.
    Somando: 1790 + 843{,}3 + 800 \approx 3\,433{,}3\\ \mathrm{W}. Então P_{\text{in}} menos essas perdas fica próximo de P_{\text{out}} (diferenças pequenas por arredondamento).

Passo 8

Cálculo do conjugado (torque) de saída. O torque mecânico resultante em regime é:
T = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_m},
onde \omega_m é a velocidade angular do eixo:
\omega_m = \frac{2\pi n}{60} = 2\pi\cdot\frac{1755}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
Calculando:
\omega_m \approx 2\pi\cdot 29{,}25 \approx 183{,}78\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
T \approx \frac{32\,089{,}7}{183{,}78}\approx 174{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Rendimento ( \eta):
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.
Substituindo valores calculados:
\eta \approx \frac{32\,089{,}7}{35\,581{,}2}\approx 0{,}902 \quad\text{(ou }90{,}2\%\text{)}.

Resposta

a) I_{\text{entrada}} \approx 54{,}62\\ \mathrm{A}
b) P_{\text{entrada}} \approx 35\,581\\ \mathrm{W}
c) P_{\text{saída}} \approx 32\,090\\ \mathrm{W}í
d) T_{\text{saída}} \approx 174{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}í
e) \eta \approx 90{,}2\\ \%

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