2^ a questão Dois corpos de massas m1 e m2>m1, respectivamente, são sustentados verticalmente, cada qual em uma das extremidades de um fio ideal que passa por uma polia de momento de inércia I e raio R. O eixo fixo de rotação da polia, passando por seu centro, é normal ao plano que contém o fio e este não desliza sobre a mesma. Inicialmente, o conjunto é mantido em repouso, travando-se a polia. Após o sistema ser liberado, (a) determine a aceleração a do corpo de massa m1, orientando o eixo vertical y no sentido ascendente , contrário ao da aceleração da gravidade local, de módulo g, em termos das grandezas físicas envolvidas. (Atenção: nos respectivos diagramas de corpo isolado, lembre-se que o sentido da aceleração do corpo de massa m2 é contrário ao de massa m1 e que o sinal da aceleração angular da polia deve acompanhar o do torque resultante.) (b) Determine então as trações nos dois segmentos verticais do fio. (c) Qual o torque externo resultante sobre o sistema, com relação ao centro da polia?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem duas massas, m1 e m2 (sendo m2>m1), presas nas extremidades de um fio que passa por uma polia de raio R e momento de inércia I. O eixo da polia é fixo, o fio não escorrega e, ao soltar, o conjunto começa a se mover.
Conteúdo: Dinâmica de translação (para as massas) e dinâmica de rotação (para a polia).
O que precisamos usar:
• Equação de Newton para cada massa: sum F = m,a.
• Equação de rotação para a polia: sum tau = I,alpha.
• Restrição sem deslizamento: alpha = a/R.

Passo 2

Desenhando os diagramas de corpo livre:
Para m1 (ela sobe com aceleração a para cima):
– Tensão T1 para cima.
– Peso m1 g para baixo.
Como escolhemos “para cima = positivo”, a equação fica
T1 - m1 g ;=; m1,a tag1
Para m2 (ela desce, ou seja, aceleração -a no nosso eixo para cima):
– Tensão T2 para cima.
– Peso m2 g para baixo.
Logo
T2 - m2 g ;=; m2,(-a) Longrightarrow T2 - m2 g = -,m2,a tag2

Passo 3

Agora a polia. As únicas forças que fazem torque nela são as tensões nos dois lados do fio:
– De um lado torque tau2 = T2,R (gira num sentido).
– Do outro tau1 = T1,R (sentido oposto).
O torque resultante é
taurm res = (T2 - T1),R
Pela 2ª lei de rotação:
taurm res = I,alpha
E sem deslizamento alpha = a/R. Então
(T2 - T1),R = I,aR Longrightarrow T2 - T1 = IR^2,a tag3

Passo 4

Vamos achar a. Temos as equações (1), (2) e (3):
(1) T1 = m1 g + m1 a
(2) T2 = m2 g - m2 a
(3) T2 - T1 = IR^2,a.
Substituindo (1) e (2) em (3):
(m2 g - m2 a);-;(m1 g + m1 a) ;=;IR^2,a
l(m2 - m1r)g ;-;(m1 + m2),a ;=;IR^2,a
(m2 - m1)g ;=;l(m1 + m2 + tfracIR^2r),a Longrightarrow a = (m2 - m1),g,m1 + m2 + tfracIR^2,

Passo 5

Com a em mãos, volto em (1) e (2) pra achar as tensões:
T1 = m1l(g + ar), T2 = m2l(g - ar)

Passo 6

(c) O torque externo resultante, em relação ao centro da polia, é justamente
taurm ext =;(T2 - T1),R
Se quiser, usando (T2 - T1)=I,a/R^2, dá
taurm ext=I,aR

Resposta

(a)\quad a = (m2 - m1),g,m1 + m2 + I/R^2,
(b)\quad T1 = m1,(g + a), T2 = m2,(g - a)
(c)\quad taurm ext = (T2 - T1),R ;=; I,dfracaR

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