Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for uma matriz de tamanho
, e existir uma matriz
de tamanho
tal que o sistema linear
não tem soluções, então a forma escalonada reduzida de
não pode
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
e que existe um vetor
tal que o sistema
não é solucionável. O conteúdo principal aqui é entender a relação entre a forma escalonada reduzida de
, o posto de
e a invertibilidade.
Passo 2
Se a forma escalonada reduzida de
é
, isso significa que em cada coluna de
aparece um pivô. Logo o posto de
é
, ou seja,
.
Passo 3
Quando uma matriz quadrada
tem posto máximo
, ela é invertível. Na prática, isso significa que suas colunas formam uma base de
e a aplicação linear definida por
é bijetora.
Passo 4
Como
é invertível, para qualquer vetor
o sistema
tem solução única. Isso contradiz a hipótese de existir
sem solução.
Passo 5
Portanto, se existisse um
tal que
não tem solução, não poderia ser verdade que a forma escalonada reduzida de
seja
.
Resposta
Verdadeiro