Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz de tamanho n times n, e existir uma matriz b de tamanho n times 1 tal que o sistema linear A x=b não tem soluções, então a forma escalonada reduzida de A não pode ser In.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A de ordem n e que existe um vetor b tal que o sistema A x= b não é solucionável. O conteúdo principal aqui é entender a relação entre a forma escalonada reduzida de A, o posto de A e a invertibilidade.

Passo 2

Se a forma escalonada reduzida de A é In, isso significa que em cada coluna de A aparece um pivô. Logo o posto de A é n, ou seja, rank(A)=n.

Passo 3

Quando uma matriz quadrada A tem posto máximo n, ela é invertível. Na prática, isso significa que suas colunas formam uma base de R^n e a aplicação linear definida por A é bijetora.

Passo 4

Como A é invertível, para qualquer vetor bin R^n o sistema A x= b tem solução única. Isso contradiz a hipótese de existir b sem solução.

Passo 5

Portanto, se existisse um b tal que A x= b não tem solução, não poderia ser verdade que a forma escalonada reduzida de A seja In.

Resposta

Verdadeiro

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