Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for uma matriz quadrada, e o sistema linear
tiver soluções múltiplas para
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A e que o sistema A x = b admite mais de uma solução para x. Nosso objetivo é decidir se isso implica det(A) = 0. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e invertibilidade.
Passo 2
Se existirem duas soluções distintas x₁ e x₂ tais que
e
então podemos subtrair essas igualdades:
Passo 3
Note que
operações lineares nos permitem escrever
Passo 4
fazendo fatoração de A:
Passo 5
Temos então que x₁ - x₂ é uma solução não trivial (pois x₁ ≠ x₂) do sistema homogêneo
Passo 6
Mas a existência de uma solução não trivial de
implies que A não é invertível. E sabemos que para uma matriz quadrada A,
Passo 7
logo
Passo 8
concluímos que det(A) = 0, como queríamos mostrar.
Resposta
Verdadeiro. Se o sistema A x = b tiver múltiplas soluções, A não é invertível e, portanto, det(A) = 0.