Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz quadrada, e o sistema linear A x=b tiver soluções múltiplas para x, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A e que o sistema A x = b admite mais de uma solução para x. Nosso objetivo é decidir se isso implica det(A) = 0. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e invertibilidade.

Passo 2

Se existirem duas soluções distintas x₁ e x₂ tais que
A x₁ = b
e
A x₂ = b
então podemos subtrair essas igualdades:

Passo 3

Note que
A x₁ - A x₂ = b - b = 0
operações lineares nos permitem escrever

Passo 4

fazendo fatoração de A:

Passo 5

Temos então que x₁ - x₂ é uma solução não trivial (pois x₁ ≠ x₂) do sistema homogêneo

Passo 6

Mas a existência de uma solução não trivial de
A x = 0
implies que A não é invertível. E sabemos que para uma matriz quadrada A,

Passo 7

logo

Passo 8

concluímos que det(A) = 0, como queríamos mostrar.

Resposta

Verdadeiro. Se o sistema A x = b tiver múltiplas soluções, A não é invertível e, portanto, det(A) = 0.

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