Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Dada uma matriz invertível
, o sistema linear
tem somente a solução trivial se, e só se, o sistema linear
tem somente a solução trivial.
Dada uma matriz invertível
Passo 1
O enunciado fala sobre sistemas lineares envolvendo uma matriz invertível A: de um lado temos o sistema não homogêneo Ax= b e do outro o sistema homogêneo A^{-1}x=0 . Precisamos usar propriedades de matrizes invertíveis e o conceito de solução trivial (x=0).
Passo 2
Como A é invertível, qualquer sistema homogêneo Mx=0 com M invertível admite apenas a solução trivial x=0. Em particular, para M=A^{-1}, o sistema A^{-1}x=0 tem só x=0.
Passo 3
No caso do sistema não homogêneo Ax=b, como A é invertível existe solução única dada por x= A^{-1}b. Essa solução é trivial (x=0) se, e somente se, b=0. Se b≠0 então x=A^{-1}b≠0 e o sistema tem solução não trivial.
Passo 4
Já que A^{-1}x=0 sempre tem só a solução trivial, mas Ax=b tem só solução trivial somente quando b=0, não há equivalência para todo b. Assim a afirmação “Ax=b tem só a trivial ⇔ A^{-1}x=0 tem só a trivial” é falsa.
Resposta
Falsa