Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for uma matriz elementar, então
só tem a solução trivial.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, sendo
uma matriz elementar, o sistema homogêneo
admite apenas a solução trivial. O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes elementares e núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Uma matriz elementar é aquela obtida a partir da matriz identidade através de uma única operação elementar de linha. Cada operação elementar (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou adicionar múltiplo de uma linha a outra) é invertível, pois existe uma operação que desfaz exatamente essa mudança.
Passo 3
Por construção, toda matriz elementar
é invertível. Ou seja, existe uma matriz
tal que
. Em termos de transformações lineares, isso significa que a aplicação
é bijetora.
Passo 4
Para qualquer matriz invertível
, o único vetor que satisfaz
é o vetor nulo, pois se
então aplicando
dos dois lados temos
. Logo, o núcleo de
é trivial.
Passo 5
Portanto, como toda matriz elementar é invertível, o sistema homogêneo
admite apenas a solução trivial.
Resposta
Verdadeira