Nas partes (a)-(1), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se E for uma matriz elementar, então E x=0 só tem a solução trivial.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sendo E uma matriz elementar, o sistema homogêneo Ex=0 admite apenas a solução trivial. O conteúdo envolvido é invertibilidade de matrizes elementares e núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Uma matriz elementar é aquela obtida a partir da matriz identidade através de uma única operação elementar de linha. Cada operação elementar (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou adicionar múltiplo de uma linha a outra) é invertível, pois existe uma operação que desfaz exatamente essa mudança.

Passo 3

Por construção, toda matriz elementar E é invertível. Ou seja, existe uma matriz E^-1 tal que E^-1E = I. Em termos de transformações lineares, isso significa que a aplicação xmapsto Ex é bijetora.

Passo 4

Para qualquer matriz invertível E, o único vetor que satisfaz Ex=0 é o vetor nulo, pois se Ex=0 então aplicando E^-1 dos dois lados temos x=E^-10=0. Logo, o núcleo de E é trivial.

Passo 5

Portanto, como toda matriz elementar é invertível, o sistema homogêneo Ex=0 admite apenas a solução trivial.

Resposta

Verdadeira

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