Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz simétrica de tamanho 3 X 3 , então Ci j=Ci j, com quaisquer i e j.

Passo 1

O enunciado afirma que, se A é uma matriz simétrica de ordem 3times3, então os cofatores satisfazem
Cij = Cji
para quaisquer i,j. O conteúdo envolve definição de menor, cofactor e a propriedade de que o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.

Passo 2

Definimos o menor Mij como a matriz 2times2 obtida de A ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O cofactor Cij é dado por
Cij = (-1)^,i+jdetl(Mijr)

Passo 3

Se A é simétrica, então akl=alk para todo k,l. Ao comparar Mij e Mji, notamos que uma é obtida da outra por transposição. Ou seja,
Mji = l(Mijr)^T

Passo 4

Usamos duas propriedades: (1) o determinante é invariante por transposição, isto é,
detl(Mijr) = detl(Mjir),
e (2) a potência de -1 satisfaz
(-1)^i+j = (-1)^j+i
Com isso,
Cij = (-1)^,i+jdetl(Mijr) = (-1)^,j+idetl(Mjir) = Cji

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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