Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for uma matriz simétrica de tamanho 3 X 3 , então
, com quaisquer
e
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é uma matriz simétrica de ordem
, então os cofatores satisfazem
para quaisquer
. O conteúdo envolve definição de menor, cofactor e a propriedade de que o determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Passo 2
Definimos o menor
como a matriz
obtida de
ao eliminar a
-ésima linha e a
-ésima coluna. O cofactor
é dado por
Passo 3
Se
é simétrica, então
para todo
. Ao comparar
e
, notamos que uma é obtida da outra por transposição. Ou seja,
Passo 4
Usamos duas propriedades: (1) o determinante é invariante por transposição, isto é,
e (2) a potência de
satisfaz
Com isso,
Resposta
A afirmação é verdadeira.