verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=R^3, W=(x, y, z) / z=2 x-y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se W é subespaço vetorial de V, onde
V = R^3,
W = (x,y,z)in R^3 mid z = 2x - y
O conteúdo aqui é subespaços vetoriais em espaços reais e os critérios que vamos usar são:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em z = 2x - y temos
0 stackrel?= 2cdot 0 - 0 Longrightarrow 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Vamos checar fechamento sob soma. Tomemos
u = (x1,y1,z1)in W, v = (x2,y2,z2)in W
com
z1 = 2x1 - y1 e z2 = 2x2 - y2
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Mas
z1+z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1+x2) - (y1+y2),
logo u+v satisfaz a mesma equação e pertence a W.

Passo 4

Agora fechamento sob escalar. Seja alphainR e
u = (x1,y1,z1)in W
com z1 = 2x1 - y1. Então
alpha u = (alpha x1,;alpha y1,;alpha z1)
E
alpha z1 = alpha(2x1 - y1) = 2(alpha x1) - (alpha y1),
portanto alpha u também satisfaz z = 2x - y e fica em W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de R^3.

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