verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=R^2, W=(x, y) / x+3 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto W = (x, y) mid x + 3y = 0 é um subespaço vetorial de V = R^2 . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se W contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W . O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Vamos ver se ele satisfaz a equação x + 3y = 0 :
0 + 3 times 0 = 0 Rightarrow 0 = 0
Então, o vetor zero está em W .

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em W , a soma deles também deve estar em W .
Vamos considerar dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) em W . Isso significa que:
x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0
Vamos somar esses vetores:
(x1 + x2, y1 + y2)
Precisamos verificar se esse vetor também satisfaz a equação de W :
(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (x1 + 3y1) + (x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma está em W .

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor em W por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em W .
Vamos pegar um vetor (x, y) em W e multiplicá-lo por um escalar c :
c cdot (x, y) = (c x, c y)
Agora, vamos verificar se esse novo vetor satisfaz a equação de W :
c x + 3(c y) = c(x + 3y) = c times 0 = 0
Portanto, o vetor está em W .

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que W é, de fato, um subespaço vetorial de V = R^2 .

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