Seja A uma matriz 3 times 3. Suponha X=[1 ;-2 ; 3] que é solução do sistema homogêneo A X=barO. A matriz A é singular ou não? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz AinR^3times3 e o vetor
X = 1-23
que satisfaz
A,X=barO,
isto é, uma solução não-trivial do sistema homogêneo. O conteúdo aqui é a relação entre solução do sistema homogêneo, núcleo da matriz e invertibilidade (singularidade).

Passo 2

Recordando um teorema fundamental de álgebra linear:
Uma matriz quadrada A é invertível (ou não singular) se, e somente se, o único vetor que satisfaz
A,x=barO
é o vetor trivial x=barO. Se existir alguma solução xneqbarO, então o núcleo de A é não-trivial e, consequentemente,
det(A) = 0,
ou seja, A é singular.

Passo 3

Aqui nos deram explicitamente uma solução XneqbarO de
A,X=barO
Logo o núcleo de A é não-trivial, implicando que det(A)=0 e que A não é invertível.

Resposta

A matriz A é singular, pois admite uma solução não-trivial do sistema homogêneo, o que implica det(A)=0.

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