Seja uma matriz . Suponha que é solução do sistema homogêneo . A matriz é singular ou não? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz e o vetor
que satisfaz
A,X=barO,
isto é, uma solução não-trivial do sistema homogêneo. O conteúdo aqui é a relação entre solução do sistema homogêneo, núcleo da matriz e invertibilidade (singularidade).
Passo 2
Recordando um teorema fundamental de álgebra linear:
Uma matriz quadrada A é invertível (ou não singular) se, e somente se, o único vetor que satisfaz
A,x=barO
é o vetor trivial x=barO. Se existir alguma solução xneqbarO, então o núcleo de A é não-trivial e, consequentemente,
det(A) = 0,
ou seja, A é singular.
Passo 3
Aqui nos deram explicitamente uma solução XneqbarO de
A,X=barO
Logo o núcleo de A é não-trivial, implicando que det(A)=0 e que A não é invertível.
Resposta
A matriz A é singular, pois admite uma solução não-trivial do sistema homogêneo, o que implica det(A)=0.