Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
O valor da expansão em cofatores de uma matriz A é independente da linha ou coluna escolhida para a expansão.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado Ain Mn(K), o valor obtido pela expansão em cofatores
pela i-ésima linha
det(A)=sumj=1^n(-1)^,i+j,aij,detl(Aijr)
ou pela j-ésima coluna
det(A)=sumi=1^n(-1)^,i+j,aij,detl(Aijr)
é sempre o mesmo. O conteúdo utilizado será o Teorema de Laplace (expansão em cofatores) e a unicidade das propriedades que definem o determinante.

Passo 2

Definimos para cada entrada aij de A o menor Aij como a matriz de ordem n-1 obtida eliminando-se a linha i e a coluna j, e o cofator
Cij=(-1)^i+jdetl(Aijr)
O Teorema de Laplace diz que, para qualquer i fixo,
det(A)=sumj=1^naij,Cij,
e, para qualquer j fixo,
det(A)=sumi=1^naij,Cij

Passo 3

A expansão em cofatores define uma função de Mn(K) em K que satisfaz as três propriedades que caracterizam unicamente o determinante:
  1. multilinearidade em cada linha (ou coluna),
  2. alternância (se duas linhas são iguais, o valor é zero),
  3. normalização det(In)=1.
    Pela unicidade desse funcional, qualquer maneira de calcular det(A) que obedeça essas propriedades deve dar o mesmo resultado. Além disso, a igualdade det(A)=det(A^T) mostra que expansão por linha em A^T equivale a expansão por coluna em A. Logo, a escolha de qualquer linha ou coluna não altera o valor final.

Resposta

Verdadeira.

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