Nas partes (a)-(h), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
O valor da expansão em cofatores de uma matriz
é independente da linha ou coluna escolhida para a expansão.
O valor da expansão em cofatores de uma matriz
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado
, o valor obtido pela expansão em cofatores
pela -ésima linha
pela
ou pela
-ésima coluna
é sempre o mesmo. O conteúdo utilizado será o Teorema de Laplace (expansão em cofatores) e a unicidade das propriedades que definem o determinante.
Passo 2
Definimos para cada entrada
de
o menor
como a matriz de ordem
obtida eliminando-se a linha
e a coluna
, e o cofator
O Teorema de Laplace diz que, para qualquer
fixo,
e, para qualquer
fixo,
Passo 3
A expansão em cofatores define uma função de
em
que satisfaz as três propriedades que caracterizam unicamente o determinante:
- multilinearidade em cada linha (ou coluna),
- alternância (se duas linhas são iguais, o valor é zero),
- normalização
.
Pela unicidade desse funcional, qualquer maneira de calcularque obedeça essas propriedades deve dar o mesmo resultado. Além disso, a igualdade mostra que expansão por linha em equivale a expansão por coluna em . Logo, a escolha de qualquer linha ou coluna não altera o valor final.
Resposta
Verdadeira.