Sequências de 0 no lançamento de moedas Considere a expansão diádica de
, e deixe
ser o número de zeros consecutivos do
ésimo digito para frente. Ou seja
se os dígitos
são todos zero. Em particular
se o
-ésimo digito for 1 .
a) Prove que
para todo
.
b) Prove que
i.v.
para todo
.
c) Prove que
i.v.
a) Prove que
b) Prove que
c) Prove que
Passo 1
Estamos olhando a expansão diádica de X∼U(0,1), em que cada dígito binário é independente e vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2. Definimos lₙ como o número de zeros consecutivos a partir do dígito n. Para resolver a questão, vamos usar a independência dos dígitos, cálculos de probabilidade de eventos simples e o lema de Borel-Cantelli.
Passo 2
Para (a), note que {lₙ=k} ocorre exatamente se os dígitos n,n+1,…,n+k−1 são zeros e o dígito n+k é 1. Como cada dígito vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2 e são independentes, temos
Passo 3
Para (b), fixe k e defina Eₙ={lₙ=k}. Já vimos que P(Eₙ)=1/2^{k+1}>0. Além disso, para n e m tais que |n−m|>k+1, os eventos Eₙ e Eₘ dependem de dígitos disjuntos, logo são independentes. Como
podemos aplicar o segundo lema de Borel-Cantelli, que afirma que se eventos independentes satisfazem soma das probabilidades infinita, então P(Eₙ i.o.)=1. Assim P(lₙ=k i.v.)=1.
Passo 4
Para ©, defina Fₙ={lₙ=n}. Temos
e
Pelo primeiro lema de Borel-Cantelli, se a soma das probabilidades é finita, então P(Fₙ i.o.)=0. Logo P(lₙ=n i.v.)=0.
Resposta
a) P(lₙ=k)=1/2^{k+1}. b) P(lₙ=k i.v.)=1. c) P(lₙ=n i.v.)=0.