Sequências de 0 no lançamento de moedas Considere a expansão diádica de X sim U(0,1), e deixe ln ser o número de zeros consecutivos do n ésimo digito para frente. Ou seja ln=k se os dígitos n, n+1, ldots, n+k-1 são todos zero. Em particular ln=0 se o n-ésimo digito for 1 .
a) Prove que k>0 para todo )=1.
b) Prove que k i.v. )=0 para todo .
c) Prove que i.v.

Passo 1

Estamos olhando a expansão diádica de X∼U(0,1), em que cada dígito binário é independente e vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2. Definimos lₙ como o número de zeros consecutivos a partir do dígito n. Para resolver a questão, vamos usar a independência dos dígitos, cálculos de probabilidade de eventos simples e o lema de Borel-Cantelli.

Passo 2

Para (a), note que {lₙ=k} ocorre exatamente se os dígitos n,n+1,…,n+k−1 são zeros e o dígito n+k é 1. Como cada dígito vale 0 ou 1 com probabilidade 1/2 e são independentes, temos
P(lₙ=k)=l(tfrac12r)^kcdottfrac12=tfrac12^k+1

Passo 3

Para (b), fixe k e defina Eₙ={lₙ=k}. Já vimos que P(Eₙ)=1/2^{k+1}>0. Além disso, para n e m tais que |n−m|>k+1, os eventos Eₙ e Eₘ dependem de dígitos disjuntos, logo são independentes. Como
sumn=1^∞P(Eₙ)=sumn=1^∞tfrac12^k+1=∞,
podemos aplicar o segundo lema de Borel-Cantelli, que afirma que se eventos independentes satisfazem soma das probabilidades infinita, então P(Eₙ i.o.)=1. Assim P(lₙ=k i.v.)=1.

Passo 4

Para ©, defina Fₙ={lₙ=n}. Temos
P(Fₙ)=tfrac12^n+1
e
sumn=1^∞P(Fₙ)=sumn=1^∞tfrac12^n+1=tfrac12<∞
Pelo primeiro lema de Borel-Cantelli, se a soma das probabilidades é finita, então P(Fₙ i.o.)=0. Logo P(lₙ=n i.v.)=0.

Resposta

a) P(lₙ=k)=1/2^{k+1}. b) P(lₙ=k i.v.)=1. c) P(lₙ=n i.v.)=0.

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