Raio de Convergência Dado
um espaço de medida e deixe
ser uma sequência infinita de variáveis aleatórias de
. Mostre que o raio de convergência
de uma série de potência aleatória
é uma função mensurável com respeito à
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço de medida
, a função
que dá o raio de convergência da série aleatória
é mensurável em relação a
. O conteúdo usado será teoria de séries de potência (Cauchy–Hadamard) e propriedades de funções mensuráveis.
Passo 2
Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, para cada
o raio de convergência é dado por
e então
adotando a convenção
e
.
Passo 3
Como cada
(ou
) é mensurável, a aplicação
é composição de funções mensuráveis (valor absoluto e potência fracionária), logo cada
é mensurável.
Passo 4
Para mostrar que
é mensurável, usamos a representação
Como supremum e ínfimo numeráveis preservam mensurabilidade,
é mensurável.
Passo 5
Por fim, a função recíproca
(com as convenções mencionadas) é mensurável no intervalo
. Como
, trata-se da composição de
(mensurável) com a recíproca (mensurável), logo
é mensurável.
Resposta
A função que associa a cada
o raio de convergência
é mensurável em relação a
.