Raio de Convergência Dado (Omega, F) um espaço de medida e deixe z0, z1, ldots ser uma sequência infinita de variáveis aleatórias de Omega. Mostre que o raio de convergência R de uma série de potência aleatória
f(x)=sumk=0^infty zk x^k
é uma função mensurável com respeito à F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço de medida (Omega,F), a função R(omega) que dá o raio de convergência da série aleatória
f(x,omega)=sumk=0^inftyzk(omega)x^k
é mensurável em relação a F. O conteúdo usado será teoria de séries de potência (Cauchy–Hadamard) e propriedades de funções mensuráveis.

Passo 2

Pela fórmula de Cauchy–Hadamard, para cada omega o raio de convergência é dado por
L(omega)=limsupktoinfty|zk(omega)|^1/k,
e então
R(omega)=1L(omega),
adotando a convenção 1/0=+infty e 1/+infty=0.

Passo 3

Como cada zk:OmegatoR (ou C) é mensurável, a aplicação
ak(omega)=|zk(omega)|^1/k
é composição de funções mensuráveis (valor absoluto e potência fracionária), logo cada ak é mensurável.

Passo 4

Para mostrar que
L(omega)=limsupktoinftyak(omega)
é mensurável, usamos a representação
limsupktoinftyak=infj>=1l(supk>= jakr)
Como supremum e ínfimo numeráveis preservam mensurabilidade, L é mensurável.

Passo 5

Por fim, a função recíproca xmapsto1/x (com as convenções mencionadas) é mensurável no intervalo [0,+infty]. Como R(omega)=1/L(omega), trata-se da composição de L (mensurável) com a recíproca (mensurável), logo R é mensurável.

Resposta

A função que associa a cada omega o raio de convergência
R(omega)=1limsupktoinfty|zk(omega)|^1/k
é mensurável em relação a F.

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