Uma partícula de 0,340 kg se move no plano xy, de acordo com as equações x(t)=-15,00+2,00 t- 4,00 t^3 e y(t)=25,00+7,00 t-9,00 t^2, com x e y em metros e t em segundos. No instante t=0,700 s, qual é o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) da força resultante a que está submetida a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma partícula de massa
m = 0,340 kg
que se move no plano segundo as leis:
x(t) = -15,00 + 2,00,t - 4,00,t^3,, y(t) = 25,00 + 7,00,t - 9,00,t^2,
No instante precisamos achar o ângulo da força resultante em relação ao eixo .
Conteúdo: cinemática vetorial (derivadas de posição → velocidade → aceleração) e 2ª lei de Newton ( ).

Passo 2

Primeiro, calculamos a velocidade vetorial vx(t) = dxdt = 2,00 - 12,00,t^2, vy(t) = dydt = 7,00 - 18,00,t derivando em relação a :
$$v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 2{,}00 - 12{,}00,t^2,\qquad
v_y(t) = \frac{dy}{dt} = 7{,}00 - 18{,}00,t.$$
Isso usa a regra básica de derivação: .

Passo 3

Agora achamos a aceleração ax(t) = dvxdt = -24,00,t, ay(t) = dvydt = -18,00 (constante) derivando ax(0,700) = -24,00times0,700 = -16,8 m/s^2, em relação a ay(0,700) = -18,00 m/s^2:
$$a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = -24{,}00,t,\qquad
a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = -18{,}00\ (constante).$$
Ou seja, aceleração em varia com e em é constante.
No instante :

Passo 4

Pela 2ª lei de Newton Fx = m,ax = 0,340cdot(-16,8) = -5,712 N,, a força resultante é
Fy = m,ay = 0,340cdot(-18,0) = -6,12 N

Passo 5

Para achar o ângulo theta = arctan!gl(FyFxgr) , medido a partir do semieixo arctan!l(tfrac-6,12-5,712r) = arctan(1,071) approx 46,7° positivo usamos
theta = 180° + 46,7° = 226,7°,
mas atenção ao quadrante: e indicam terceiro quadrante. Primeiro calculamos o valor de :
Como estamos no terceiro quadrante somamos :

Resposta

O ângulo da força resultante no instante é aproximadamente .

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