Uma partícula com carga igual a - 1,24 \times 10^{-8} \mathrm{C} se move com v=4,19 \times 10^{4} \hat{\imath}-3,85 \times 10^{4} \hat{\jmath} Qual é a força exercida sobre essa partícula por um campo magnético de 1,4 \mathrm{~T} \hat{\imath} ? Resp: \mathbf{F}=\left(-6,68 \times 10^{-4} \mathrm{~N}\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a força magnética sobre uma partícula carregada que se move num campo magnético. Informações dadas:
q=-1,24\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
\mathbf{v}=4,19\times10^{4}\,\hat{\imath}-3,85\times10^{4}\,\hat{\jmath}
\mathbf{B}=1,4\\ \mathrm{T}\,\hat{\imath}
A pergunta é: qual é \mathbf{F}, a força magnética exercida sobre a partícula.

Passo 2

Fórmula básica que usamos: a força magnética (força de Lorentz, apenas a parte magnética aqui) é dada por
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Expliquei os símbolos: \mathbf{F} é a força (vetor em newtons), q é a carga (em coulombs), \mathbf{v} é a velocidade (em metros por segundo) e \mathbf{B} é o campo magnético (em tesla). O produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} dá um vetor perpendicular tanto a \mathbf{v} quanto a \mathbf{B}; o sinal (direção) é dado pela regra da mão direita e, se q for negativo, a direção final se inverte.

Passo 3

Escrevo os vetores em componentes (colocando explicitamente a componente z igual a zero):
\mathbf{v}=\left(4,19\times10^{4}\right)\hat{\imath}+\left(-3,85\times10^{4}\right)\hat{\jmath}+0\hat{k}
\mathbf{B}=\left(1,4\right)\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+0\hat{k}

Passo 4

Calculo o produto vetorial componente a componente usando a fórmula
\mathbf{v}\times\mathbf{B}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Isso dá, em componentes,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_x=v_yB_z-v_zB_y,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_y=v_zB_x-v_xB_z,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})_z=v_xB_y-v_yB_x.
Como B_y=0 e B_z=0 e v_z=0, os dois primeiros componentes são zero e sobra apenas a componente z:
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(0)\hat{\imath}+(0)\hat{\jmath}+\bigl(-v_yB_x\bigr)\hat{k}.]

Passo 5

Substituo os valores numéricos na expressão da componente z. Temos v_y=-3,85\times10^{4} e B_x=1,4, então
-(v_yB_x)=-\bigl((-3,85\times10^{4})\cdot1,4\bigr)=+(3,85\times10^{4})\cdot1,4.
Multiplico os mantissas:
3,85\times1,4=5,39,
e junto as potências de dez:
3,85\times10^{4}\cdot1,4=5,39\times10^{4}.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=5,39\times10^{4}\,\hat{k}.

Passo 6

Agora multiplico pelo q:
\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})=(-1,24\times10^{-8})\cdot(5,39\times10^{4})\,\hat{k}.
Multiplico as mantissas e somo os expoentes:
1,24\times5,39=6,6836
e
10^{-8}\times10^{4}=10^{-4}.
Como q é negativo, o resultado fica negativo:
\mathbf{F}=-6,6836\times10^{-4}\,\hat{k}\\ \mathrm{N}.
Arredondando sensivelmente (três algarismos significativos) obtemos
\mathbf{F}=-6,68\times10^{-4}\,\hat{k}\\ \mathrm{N}.
Interpretação física rápida: sem o sinal da carga a direção do \mathbf{v}\times\mathbf{B} seria +\hat{k}; como q é negativo, a força aponta em -\hat{k}.

Resposta

\mathbf{F}=\left(-6,68\times10^{-4}\\ \mathrm{N}\right)\mathbf{k}

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