(a) Uma partícula está confinada numa caixa tridimensional que tem lados L1, L2=2 L1 e L3=3 L1. De os números quânticos n1, n2 e n3 que correspondem aos dez níveis de energia mais baixos, nesta caixa. (b) Quais números quânticos, se existirem, correspondem a níveis de energia degenerados?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula num poço infinito retangular 3D com lados L1=L, L2=2L e L3=3L. Os estados são indexados por (n1,n2,n3) com ni=1,2,dots. O objetivo de (a) é listar os dez triplos cuja energia
En1n2n3 =hbar^2pi^22ml(n1^2L^2+n2^2(2L)^2+n3^2(3L)^2r)
é mínima. Em (b) queremos ver se entre esses níveis há valores repetidos (degenerescência).

Passo 2

Para comparar rapidamente só precisamos da parte adimensional
varepsilon(n1,n2,n3) = n1^2 ;+;n2^24;+;n3^29,,
pois En1n2n3proptovarepsilon. Vamos gerar varepsilon para os primeiros valores de ni e depois ordenar.

Passo 3

Calculemos varepsilon para as combinações mais prováveis de estarem entre os menores dez níveis (até n1<=2, n2<=3, n3<=5):
varepsilon(1,1,1)&=1+tfrac14+tfrac19=1,3611, varepsilon(1,1,2)&=1+tfrac14+tfrac49=1,6944, varepsilon(1,2,1)&=1+tfrac44+tfrac19=2,1111, varepsilon(1,1,3)&=1+tfrac14+tfrac99=2,2500, varepsilon(1,2,2)&=1+tfrac44+tfrac49=2,4444, varepsilon(1,2,3)&=1+tfrac44+tfrac99=3,0000, varepsilon(1,1,4)&=1+tfrac14+tfrac169=3,0278, varepsilon(1,3,1)&=1+tfrac94+tfrac19=3,3611, varepsilon(1,3,2)&=1+tfrac94+tfrac49=3,6944, varepsilon(1,1,5)&=1+tfrac14+tfrac259=4,0278, varepsilon(2,1,1)&=4+tfrac14+tfrac19=4,3611, varepsilon(1,3,3)&=1+tfrac94+tfrac99=4,2500,;dots

Passo 4

Ordenando os valores de varepsilon do menor para o maior, os dez primeiros triplos (n1,n2,n3) são:
  1. (1,1,1)
  2. (1,1,2)
  3. (1,2,1)
  4. (1,1,3)
  5. (1,2,2)
  6. (1,2,3)
  7. (1,1,4)
  8. (1,3,1)
  9. (1,3,2)
  10. (1,1,5)

Passo 5

Para haver degenerescência entre duas configurações (n1,n2,n3)neq(n'1,n'2,n'3) precisamos
varepsilon(n1,n2,n3)=varepsilon(n'1,n'2,n'3). Entre os dez primeiros não há valores repetidos de varepsilon, ou seja, nenhum dos dez níveis mais baixos é degenerado. Em níveis seguintes aparece, por exemplo,
varepsilon(2,2,1)=4+tfrac44+tfrac19=5,1111 =varepsilon(1,4,1),,
que é um par degenerado, mas isso já fica fora dos dez primeiros.

Resposta

(a) Os dez triplos (n1,n2,n3) de menor energia são
(1,1,1),,(1,1,2),,(1,2,1),,(1,1,3),,(1,2,2),,(1,2,3),,(1,1,4),,(1,3,1),,(1,3,2),,(1,1,5)
(b) Nenhum desses dez níveis apresenta degenerescência.

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