Uma partícula está confinada entre duas paredes rígidas separadas pela distância L. A partícula está no seu estado de energia mais baixa e a função de onda desse estado é Psi= A sen (pi x / L). Use esta função de onda para calcular a probabilidade de a partícula estar entre os pontos
x=L / 3 e x=2 L / 3

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no poço infinito de largura L no estado fundamental, cuja função de onda é
Psi(x) = A sin!l(tfracpi xLr),
definida em 0<= x<= L. Queremos calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre x=L/3 e x=2L/3. Para isso vamos precisar de dois ingredientes: a normalização de Psi (para achar A) e o cálculo da integral
P = integralL/3^2L/3 |Psi(x)|^2 ,dx

Passo 2

Normalizamos Psi impondo
integral0^L |Psi(x)|^2,dx = 1
Substituindo Psi(x)=Asin(pi x/L) temos
|A|^2 integral0^L sin^2!l(tfracpi xLr)dx = 1
Usamos a identidade sin^2theta = tfrac1-cos(2theta)2 e obtemos
|A|^2 cdot L2 = 1 Longrightarrow A = raiz2L

Passo 3

A probabilidade procurada é
P = integralL/3^2L/3 l|raiztfrac2Lsin!l(tfracpi xLr)r|^2 dx = 2L integralL/3^2L/3 sin^2!l(tfracpi xLr)dx

Passo 4

Aplicamos de novo sin^2theta = tfrac1-cos(2theta)2, obtendo
P = 2LintegralL/3^2L/3 1 - cos!l(tfrac2pi xLr)2,dx = 1LintegralL/3^2L/3l[1 - cos!l(tfrac2pi xLr)r]dx
Integramos termo a termo:
integral 1,dx = x, integral cos!l(tfrac2pi xLr)dx = L2pisin!l(tfrac2pi xLr)
Logo,
P = 1Ll[ x - L2pisin!l(tfrac2pi xLr) r]x=L/3^x=2L/3

Passo 5

Calculamos os valores nos limites:
l[xr]L/3^2L/3 = 2L3-L3 = L3,
l[sin!l(tfrac2pi xLr)r]L/3^2L/3 = sin!l(tfrac4pi3r) - sin!l(tfrac2pi3r) = l(-tfracraiz32r) - l(tfracraiz32r) = -raiz3
Portanto
P = 1Ll[ L3 ;-; L2pil(-raiz3r) r] = 13 + raiz32pi

Resposta

P = 13 + raiz32piapprox 0,609

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