Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (3).
x(t)=-1+t-3 t^2+3 t^3
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o exercício dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x(t) = -1 + t - 3,t^2 + 3,t^3 por
e pergunta: em que instantes ela passa pela origem ( )?
Conteúdo: resolução de equação polinomial (cúbica) para achar raízes. Vamos precisar entender que “passar pela origem” significa achar tal que , e depois resolver esse polinômio.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a condição de passagem pela origem:
x(t) = 0 Longrightarrow -1 + t - 3,t^2 + 3,t^3 = 0
Ou reorganizando em potência decrescente de 3,t^3 - 3,t^2 + t - 1 = 0 :
O que queremos é encontrar todos os valores de que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos usar fatoração por agrupamento. A ideia é separar o polinômio em dois grupos que tenham um fator comum:
3,t^3 - 3,t^2 + t - 1 = (3,t^3 - 3,t^2) + (t - 1)
Em cada grupo, fatoramos:
  • No primeiro: 3,t^3 - 3,t^2 + t - 1 = 3,t^2(t - 1) + 1,(t - 1) .
  • No segundo: = (t - 1)l(3,t^2 + 1r) .
Então
Perceba que agora temos em comum:

Passo 4

A equação só é satisfeita quando um dos fatores é zero, então temos duas possibilidades:
A segunda dá , que é complexo. Como estamos buscando instantes reais de tempo, só vale o .

Resposta

A partícula passa pela origem apenas no instante
boxedt = 1 (unidade de tempo)

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