Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (3).
x(t)=-1+t-3 t^2+3 t^3
Para esse sistema, vale Torricelli? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão pede.
Enunciado resumido: “Uma partícula se move segundo
x(t) = -1 + t - 3t^2 + 3t^3,
Pergunta: nesse caso, vale a fórmula de Torricelli? Explique.”
Conteúdo: Movimento retilíneo e derivadas (velocidade e aceleração) e a fórmula de Torricelli (que é aquela relação entre velocidade e deslocamento quando a aceleração é constante).
O que vamos precisar:
  1. Derivar x(t) para achar v(t) (velocidade) e depois derivar de novo para achar a(t) (aceleração).
  2. Lembrar a fórmula de Torricelli e as condições de validade dela.

Passo 2

Calcular a velocidade v(t):
Por definição, v(t)=dxdt,
Derivando termo a termo:
x(t) = -1 + t - 3t^2 + 3t^3
– derivada de -1 é 0,
– derivada de t é 1,
– derivada de -3t^2 é -6t,
– derivada de 3t^3 é 9t^2.
Logo
v(t) = 1 - 6t + 9t^2,

Passo 3

Calcular a aceleração a(t):
Por definição, a(t)=dvdt=d^2xdt^2,
Derivando v(t)=1 - 6t + 9t^2:
– derivada de 1 é 0,
– derivada de -6t é -6,
– derivada de 9t^2 é 18t.
Logo
a(t) = -6 + 18t,

Passo 4

Lembrando a fórmula de Torricelli (para movimento com aceleração constante):
v^2 = v0^2 + 2,a,(x - x0),,
onde a é constante. Essa relação só vale se a(t)=a não depender de t.

Passo 5

Verificação da condição:
No nosso caso a(t) = -6 + 18t varia com o tempo ( t). Ou seja, não é constante.

Resposta

Não vale a fórmula de Torricelli, porque ela exige aceleração constante e aqui a(t)=-6+18t depende de t,.

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