Uma partícula que se movimenta num campo elétrico tem velocidade dada pela equação vec{v}=(3,0 t+2,0) \hat{i}+\left(2,0 t^{2}+5,0 t-10\right) \hat{j}+10 \hat{k} sendo a velocidade medida em \mathrm{m} / \mathrm{s} e o tempo em segundos. A posição da partícula no é vec{r}(0)=5,0 \hat{i}-3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k}(\mathrm{~m}). Determine:
(RA2) O módulo da aceleração em t=2,0 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede o que está abaixo.
  • Velocidade da partícula (peguei do enunciado):
\vec{v}(t) = \bigl(3,0\,t + 2,0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(2,0\,t^{2} + 5,0\,t - 10\bigr)\,\hat{j} + 10\,\hat{k}.
  • Posição inicial (peguei do enunciado):
\vec{r}(0)=5,0\,\hat{i}-3,0\,\hat{j}+4,0\,\hat{k}\\ (\mathrm{m}).
  • Unidades: velocidade em \mathrm{m\;s^{-1}}, tempo em \mathrm{s}.
O que é pedido:
  • (RA2) Determinar o módulo da aceleração em \,t=2,0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Entender o que é aceleração e como obtê-la da velocidade.
  • A aceleração \vec{a}(t) é a derivada temporal da velocidade: \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
  • Como \vec{v}(t) é dada componente a componente, a diferenciação é feita componente a componente (ou seja, derivar cada componente escalar em relação a t).
  • Regras de derivação que vamos usar (rápido lembrete):
    • A derivada de uma constante c é 0: \dfrac{d}{dt}c=0.
    • A derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
    • A derivada de a\,t (com a constante) é a.
    • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Aplicar a derivação componente a componente à \vec{v}(t).
  • Para a componente em \hat{i}: \,v_x(t)=3,0\,t+2,0. Derivando:
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=3,0.
(porque \dfrac{d}{dt}(3,0\,t)=3,0 e \dfrac{d}{dt}(2,0)=0.)
  • Para a componente em \hat{j}: \,v_y(t)=2,0\,t^{2}+5,0\,t-10. Derivando termo a termo:
a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=2,0\cdot 2\,t + 5,0 = 4,0\,t + 5,0.
(uso \dfrac{d}{dt}(2,0\,t^{2})=2,0\cdot 2\,t, \dfrac{d}{dt}(5,0\,t)=5,0, \dfrac{d}{dt}(-10)=0.)
  • Para a componente em \hat{k}: v_z(t)=10 (constante). Então
a_z(t)=\frac{dv_z}{dt}=0.
  • Portanto, a aceleração vetorial geral é
\vec{a}(t)=3,0\,\hat{i}+\bigl(4,0\,t+5,0\bigr)\,\hat{j}+0\,\hat{k}.

Passo 4

Avaliar a aceleração em \,t=2,0\\ \mathrm{s}.
  • Substituindo \,t=2,0 em cada componente:
a_x(2,0)=3,0,
a_y(2,0)=4,0\cdot 2,0 + 5,0 = 8,0 + 5,0 = 13,0,
a_z(2,0)=0.
  • Logo a aceleração em t=2,0 é
\vec{a}(2,0)=3,0\,\hat{i}+13,0\,\hat{j}+0\,\hat{k}.

Passo 5

Calcular o módulo (norma) da aceleração em \,t=2,0\\ \mathrm{s}.
  • Fórmula do módulo de um vetor \vec{a}=(a_x,a_y,a_z):
\lVert \vec{a}\rVert = \sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}+a_z^{2}}.
  • Aplicando aos valores obtidos:
\lVert \vec{a}(2,0)\rVert = \sqrt{(3,0)^{2} + (13,0)^{2} + 0^{2}}.
  • Calcular os quadrados:
(3,0)^{2}=9,0,\qquad (13,0)^{2}=169,0.
  • Soma:
9,0 + 169,0 = 178,0.
  • Portanto
\lVert \vec{a}(2,0)\rVert = \sqrt{178,0}.
  • Valor aproximado (arredondando para duas casas decimais): \sqrt{178,0}\approx 13,34.

Passo 6

Interpretação final e unidades.
  • A aceleração é um vetor com magnitude medida em \mathrm{m\;s^{-2}}.
  • Resultado final (aproximado, com duas casas decimais) para o módulo da aceleração em t=2,0\\ \mathrm{s} é \approx 13,34\\ \mathrm{m\;s^{-2}}.
  • Se preferir a forma exata, mantenha \sqrt{178,0}\\ \mathrm{m\;s^{-2}}.

Resposta

\lVert \vec{a}(2,0)\rVert = \sqrt{178,0}\\ \mathrm{m\;s^{-2}} \approx 13,34\\ \mathrm{m\;s^{-2}}

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