Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x=x(t). Determine x=x(t) sabendo que:
d xdt=11-t^2 e x(0)=0

Passo 1

Estamos com uma EDO do tipo separável: dxdt=11-t^2, com condição inicial x(0)=0. Para resolver precisamos usar antiderivadas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo dx=dt1-t^2 e aplique a operação de integração em ambos os lados:
integral dx = integral dt1 - t^2
Para integrar 11 - t^2 faça frações parciais:
11 - t^2 = 12l(11 - t + 11 + tr)
Integre cada parte:
x(t) = integral dx = 12integral dt1 - t + 12integral dt1 + t = -12ln|1 - t| + 12ln|1 + t| + C
Combine logaritmos e simplifique:
x(t) = 12lnl|1 + t1 - tr| + C
Use a condição x(0)=0:
0 = x(0) = 12lnl|1 + 01 - 0r| + C = 12ln(1) + C = C
Logo, C=0 e a solução fica sem constante adicional.

Resposta

x(t)=tfrac12lnl(tfrac1 + t1 - tr)

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