Uma partícula se desloca sobre o eixo
com uma função posição
. Determine
sabendo que:
e
e
Passo 1
O enunciado diz que a partícula tem aceleração $a(t)=\frac{d2x}{dt2}=3t$, com as condições iniciais velocidade \v(0)=1\ e posição \x(0)=8\. Vamos usar cálculo integral para encontrar primeiro a velocidade e depois a posição.
Passo 2
Como aceleração é derivada da velocidade, integramos \a(t)=3t\ em relação a \t\ para achar a velocidade \v(t)\. Usamos:
[ v(t) = \int 3t , dt = \frac{3t^2}{2} + C_1 ]
[ v(t) = \int 3t , dt = \frac{3t^2}{2} + C_1 ]
Passo 3
Para determinar a constante \C_1\, usamos a condição inicial \v(0)=1\. Substituindo \t=0\ na expressão de \v(t)\:
[ 1 = v(0) = \frac{3\cdot0^2}{2} + C_1 \implies C_1 = 1 ]
Logo
[ v(t) = \frac{3t^2}{2} + 1 ]
[ 1 = v(0) = \frac{3\cdot0^2}{2} + C_1 \implies C_1 = 1 ]
Logo
[ v(t) = \frac{3t^2}{2} + 1 ]
Passo 4
Agora integramos \v(t)\ para obter a posição \x(t)\. Temos:
[ x(t) = \int \Bigl(\frac{3t^2}{2} + 1\Bigr) dt = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + t + C_2 = \frac{t^3}{2} + t + C_2 ]
[ x(t) = \int \Bigl(\frac{3t^2}{2} + 1\Bigr) dt = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^3}{3} + t + C_2 = \frac{t^3}{2} + t + C_2 ]
Passo 5
Usamos a condição inicial \x(0)=8\ para achar \C_2\. Substituindo \t=0\:
[ 8 = x(0) = \frac{0^3}{2} + 0 + C_2 \implies C_2 = 8 ]
Portanto, a posição é dada por:
[ x(t) = \frac{t^3}{2} + t + 8 ]
[ 8 = x(0) = \frac{0^3}{2} + 0 + C_2 \implies C_2 = 8 ]
Portanto, a posição é dada por:
[ x(t) = \frac{t^3}{2} + t + 8 ]