Usando a definição de limites, prove que:
lim n infty 3+5 n^2n+n^2=5

Passo 1

O enunciado pede para provar, via definição formal de limite de sequência, que a sequência aₙ= 3+5n^2n+n^2 tende a 5 quando n→∞. Vamos usar o conteúdo de limites de sequências e a definição: para todo varepsilon>0 existe N tal que para todo n>= N vale |aₙ-L|.

Passo 2

Vamos calcular a diferença |3+5n^2n+n^2 -5| e encontrar um majorante que tenda a zero. Primeiro, simplificamos:
|3+5n^2n+n^2 -5| = |3+5n^2 -5(n+n^2)n+n^2| = |3+5n^2 -5n -5n^2n(1+n)| = |3 -5nn(1+n)|

Passo 3

Usando |3-5n|<= 5n+3 e notando que 1+n>= n, obtemos:
|3 -5nn(1+n)| <= 5n+3n(1+n) = 5 + 3/n1+n <= 5 + 3/nn = 5n + 3n^2 <= 8n
Dado varepsilon>0, basta escolher N tal que 8N, por exemplo N=lceil 8/varepsilonrceil. Assim, para todo n>= N temos |3+5n^2n+n^2 -5|, satisfazendo a definição de limite de sequência.

Resposta

5

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