Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t \geq 0. Determine x=x(t), sabendo que:
\begin{array}{ccc} \frac{d x}{d t}=2 x & \text { e } & x(0)=1 \\\ \frac{d x}{d t}=-x & \text { e } & x(0)=-1 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição x(t) de uma partícula sujeita a duas EDOs do tipo
\frac{dx}{dt}=kx,
com constantes k=2 e k=-1, cada uma com sua condição inicial. Vamos usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{dx}{dt}=2x, separamos as variáveis:
\frac{dx}{x}=2\,dt.
Integrando ambos os lados,
\int\frac{dx}{x}=\int2\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\bigr|=2t+C.
Elevando exponencialmente,
x(t)=C_1\,e^{2t}.
Impondo x(0)=1 C_1=1. Logo,
x(t)=e^{2t}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{dx}{dt}=-x, separamos:
\frac{dx}{x}=-\,dt.
Integramos:
\int\frac{dx}{x}=\int-\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|x\bigr|=-t+C'.
Logo
x(t)=C_2\,e^{-t}.
Com x(0)=-1 obtemos C_2=-1. Assim,
x(t)=-e^{-t}.

Resposta

Para \dfrac{dx}{dt}=2x,\;x(0)=1:\quad x(t)=e^{2t}.
Para \dfrac{dx}{dt}=-x,\;x(0)=-1:\quad x(t)=-e^{-t}.

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