Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
f(x)=2 x+3 x^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função f(x)=2x+3x^{2/3}. O conteúdo principal envolvido é o uso de derivadas e os testes da primeira e da segunda derivada.

Passo 2

Calcular a derivada de f para x\neq0.
f'(x)=2+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2/3}\bigr) =2+3\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3} =2+2x^{-1/3}.
Identificamos pontos onde f'(x)=0 e onde f' não existe.

Passo 3

Resolver f'(x)=0:
2+2x^{-1/3}=0 \implies x^{-1/3}=-1 \implies x^{1/3}=-1 \implies x=-1.
Além disso, f' não existe em x=0 pois x^{-1/3} diverge.

Passo 4

Aplicar o teste da segunda derivada em x=-1.
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2+2x^{-1/3}\bigr) =-\frac{2}{3}x^{-4/3}.
Logo,
f''(-1)=-\frac{2}{3}<0,
o que indica um máximo local em x=-1. O valor de f nesse ponto é
f(-1)=2(-1)+3(-1)^{2/3}=-2+3\cdot1=1.

Passo 5

Analisar o ponto x=0. Ao aproximar de zero pela esquerda, f'(x)\to-\infty e pela direita, f'(x)\to+\infty. Isso significa que f decresce antes de 0 e cresce depois, caracterizando um mínimo local em x=0. Como
f(0)=0,
esse é o valor mínimo local.

Resposta

O único máximo local é em (-1,1) e o único mínimo local é em (0,0).

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