Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais da função
O conteúdo aqui é análise de extremos via derivadas: vamos calcular
, achar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para classificá-los.
Passo 2
Calcular a primeira derivada com regra do produto e fatorar:
Colocando fator comum
:
Logo os pontos críticos vêm de
Passo 3
Para classificar, derivamos novamente
. Usando produto:
Isto é,
Fatorando
e reorganizando obtém-se
Passo 4
Avaliar
em cada ponto crítico:
Em
:
Em
:
Em
:
teste inconclusivo. Mas analisando o sinal de
antes e depois de
, vê-se que
e o sinal de
permanece o mesmo à esquerda e à direita de
. Portanto, não há troca de sinal de
em
e logo não há extremo em
.
Resposta
Local mínimo em
.
Local máximo em
.
O ponto não é extremo.
Local máximo em
O ponto