Questão 5. (Extremos Locais)
Encontre os extremos locais das funções abaixo. (Fique a vontade para aplicar o teste da primeira ou da segunda derivada.)
f(x)=x^{2}(x+1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais da função
f(x)=x^{2}(x+1)^{3}.
O conteúdo aqui é análise de extremos via derivadas: vamos calcular f'(x), achar os pontos críticos e depois usar o teste da segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calcular a primeira derivada com regra do produto e fatorar:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]\,(x+1)^{3}+x^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)^{3}\bigr] =2x(x+1)^{3}+3x^{2}(x+1)^{2}.
Colocando fator comum x(x+1)^{2}:
f'(x)=x(x+1)^{2}\bigl[2(x+1)+3x\bigr]=x(x+1)^{2}(5x+2).
Logo os pontos críticos vêm de
x=0,\quad x=-1,\quad 5x+2=0\implies x=-\tfrac{2}{5}.

Passo 3

Para classificar, derivamos novamente f'(x)=x(x+1)^{2}(5x+2). Usando produto:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x\bigr]\,(x+1)^{2}(5x+2)+x\,\frac{d}{dx}\bigl[(x+1)^{2}\bigr](5x+2) +x(x+1)^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl[5x+2\bigr].
Isto é,
f''(x)=(x+1)^{2}(5x+2)+2x(x+1)(5x+2)+5x(x+1)^{2}.
Fatorando (x+1) e reorganizando obtém-se
f''(x)=2(x+1)\bigl(10x^{2}+8x+1\bigr).

Passo 4

Avaliar f'' em cada ponto crítico:
Em x=0:
f''(0)=2\cdot(0+1)\cdot(10\cdot0^{2}+8\cdot0+1)=2>0
\to mínimo local em x=0.
Em x=-\tfrac{2}{5}:
f''\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr) =2\cdot\tfrac{3}{5}\cdot\Bigl(10\bigl(\tfrac{-2}{5}\bigr)^{2}+8\bigl(\tfrac{-2}{5}\bigr)+1\Bigr) =2\cdot\tfrac{3}{5}\cdot\bigl(\tfrac{8}{5}-\tfrac{16}{5}+1\bigr) =2\cdot\tfrac{3}{5}\cdot\bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr) <0
\to máximo local em x=-\tfrac{2}{5}.
Em x=-1:
f''(-1)=2\cdot0\cdot(\dots)=0,
teste inconclusivo. Mas analisando o sinal de f'(x)=x(x+1)^{2}(5x+2) antes e depois de -1, vê-se que (x+1)^{2}>0 e o sinal de x(5x+2) permanece o mesmo à esquerda e à direita de -1. Portanto, não há troca de sinal de f' em -1 e logo não há extremo em x=-1.

Resposta

Local mínimo em
\;(0,0).
Local máximo em
\bigl(-\tfrac{2}{5},\,\tfrac{108}{3125}\bigr).
O ponto x=-1 não é extremo.

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