Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com velocidade v(t)=t^2-3 t-4, t >= 0.
Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=4.

Passo 1

A partida é: velocidade v(t)=t^2−3t−4 no eixo x, e queremos o espaço percorrido entre t=0 e t=4. O conteúdo é cinemática escalar com integração, pois o espaço percorrido é a integral do valor absoluto da velocidade.

Passo 2

Para encontrar onde a velocidade muda de sinal, resolvemos v(t)=0, ou seja,
t^2 - 3t - 4 = 0
Isso fatoriza em (t-4)(t+1)=0, dando raízes t=-1 e t=4. No intervalo [0,4] só interessa t=4.

Passo 3

Analisando o sinal de v(t) em [0,4]: por exemplo, v(0)=−4<0. Logo v(t) é negativa em todo o intervalo (0,4). Quando a velocidade é negativa, o movimento é no sentido decrescente de x, e o espaço percorrido é
-integral0^4 v(t),dt

Passo 4

Agora calculamos essa integral. A antiderivada de v(t) é
F(t)=t^33 - 3t^22 - 4t

Passo 5

Portanto,
integral0^4 v(t),dt = F(4)-F(0) = (643 - 24 - 16) - 0 = -563

Passo 6

Como o espaço percorrido é o negativo dessa quantidade, obtemos 56/3.

Resposta

56/3

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