Uma partícula, inicialmente em repouso, move-se durante 2 s em linha reta, com aceleração segundo a equação a=2+t, no SI. Determine: (3,0 pts)
a) o gráfico da aceleração em função do tempo.
b) o gráfico da velocidade em função do tempo.
c) o gráfico da posição em função do tempo.
d) a velocidade \mathrm{v}(2) da partícula no instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
e) a posição \mathrm{x}(2) da partícula no instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá que a aceleração é
a(t)=2 + t
no SI, para 0\le t\le2, com condições iniciais v(0)=0 e x(0)=0. Precisamos de três gráficos — de a(t), de v(t) e de x(t) — e dos valores numéricos \,v(2) e x(2).

Passo 2

Para o gráfico de a(t)=2+t note que é uma reta de coeficiente angular 1 e intercepto 2 no eixo a.
Em t=0 vale a(0)=2 e em t=2 vale a(2)=4.
Portanto o gráfico é uma linha reta subindo de (0,2) até (2,4).

Passo 3

Para obter v(t) integramos a(t):
v(t)=\int(2+t)\,dt=2t+\tfrac{t^2}{2}+C.
Como v(0)=0, obtemos C=0 e
v(t)=2t+\tfrac{t^2}{2}.
Esse é um polinômio de segundo grau com concavidade para cima, passando pela origem. O gráfico é uma parábola começando em (0,0) e crescendo até (2,6).

Passo 4

Para obter x(t) integramos v(t):
x(t)=\int\Bigl(2t+\tfrac{t^2}{2}\Bigr)\,dt =\;t^2+\tfrac{t^3}{6}+C'.
Com x(0)=0 vem C'=0 e
x(t)=t^2+\tfrac{t^3}{6}.
Isso é um polinômio de terceiro grau (terceiro grau com coeficiente positivo), cujo gráfico parte de (0,0) e curva para cima até \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr).

Passo 5

Avaliação em t=2:
v(2)=2\cdot2+\tfrac{2^2}{2}=4+2=6\\ (\text{m/s}),
x(2)=2^2+\tfrac{2^3}{6}=4+\tfrac{8}{6}=4+\tfrac{4}{3}=\tfrac{16}{3}\\ (\text{m}).

Resposta

a) O gráfico de a(t) é uma reta de inclinação 1 passando pelos pontos (0,2) e (2,4).
b) O gráfico de v(t)=2t+\tfrac{t^2}{2} é uma parábola com vértice em t= -2 (fora do intervalo) e intercepto em (0,0), atingindo (2,6).
c) O gráfico de x(t)=t^2+\tfrac{t^3}{6} é uma curva cúbica que parte de (0,0) e atinge \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr).
d) \displaystyle v(2)=6\\ \text{m/s}.
e) \displaystyle x(2)=\tfrac{16}{3}\\ \text{m}.

Exercícios relacionados