A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x(t)=-3 t+t^{3}, onde x está em metros e t em segundos. Determine: ( 3,0 \mathrm{pts} )
(a) a posição em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.
(b) a velocidade em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.
(c) a aceleração da partícula em \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}.
(d) Faça o gráfico da posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula ao longo do eixo x por
x(t) = -3\,t + t^3,
em que x está em metros e t em segundos. Pede-se:
(a) x(10).
(b) v(10), em que v(t)=\frac{dx}{dt}.
(c) a(10), em que a(t)=\frac{dv}{dt}.
(d) os gráficos de x(t), v(t) e a(t).

Passo 2

Calculamos a posição em t=10:
x(10) = -3 \cdot 10 + 10^3 = -30 + 1000 = 970.

Passo 3

Derivando x(t) para obter a velocidade:
v(t) = \frac{dx}{dt} = -3 + 3\,t^2.
Logo,
v(10) = -3 + 3\cdot 10^2 = -3 + 300 = 297.

Passo 4

Derivando v(t) para obter a aceleração:
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6\,t.
Logo,
a(10) = 6 \cdot 10 = 60.

Passo 5

Esboço qualitativo dos gráficos:
1. Gráfico de x(t)=t^3-3t: é uma função cúbica com pontos críticos em t=\pm1 (máximo em -1,2 e mínimo em (1,-2)) e inflexão em t=0.
2. Gráfico de v(t)=3t^2-3: é uma parábola voltada para cima, com vértice em (0,-3) e zeros em t=\pm1.
3. Gráfico de a(t)=6t: é uma reta que passa pela origem com inclinação positiva.
Em cada gráfico, o eixo horizontal é t e o vertical é a respectiva grandeza.

Resposta

(a) x(10)=970 m
(b) v(10)=297 m/s
(c) a(10)=60 m/ s^{2}
(d)
x(t)=t^3-3t: cúbica com extremos em t=\pm1 e inflexão em t=0.
v(t)=3t^2-3: parábola com vértice em (0,-3) e raízes em \pm1.
a(t)=6t: reta crescente passando pela origem.

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