Uma partícula de massa
e energia
se desloca na direção positiva do eixo
e incide em um degrau de potencial constante de altura
, em
. Determine os coeficientes de transmissão
e reflexão
da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa $ m $ e energia $ E $ maior que um degrau de potencial $ V_0 $. Essa partícula se move na direção positiva do eixo $ x $ e atinge um degrau de potencial em $ x = 0
t
r $) dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como partículas interagem com barreiras ou degraus de potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as funções de onda da partícula antes e depois de atingir o degrau. Para $ x < 0 $ (antes do degrau), a partícula está se movendo em direção ao degrau e também pode ser refletida. A função de onda nesse ponto pode ser escrita como:
Aqui, $ e^{ikx} $ representa a onda incidente (movendo-se para a direita) e $ r , e^{-ikx} $ representa a onda refletida (movendo-se para a esquerda). O número de onda $ k $ está relacionado à energia da partícula pela relação:
Para $ x \geq 0 $ (depois do degrau), a partícula é transmitida e sua função de onda é:
Onde $ t $ é o coeficiente de transmissão e $ k’ $ é o número de onda após o degrau, dado por:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições de continuidade da função de onda e de sua derivada no ponto $ x = 0 $. Isso significa que $ \psi_{antes}(0) = \psi_{depois}(0) $ e $ \psi’{antes}(0) = \psi’{depois}(0) $.
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição, derivando as funções de onda:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ r $ e $ t $):
- $ 1 + r = t $
- $ k(1 - r) = k’ t $
Podemos substituir $ t $ da primeira equação na segunda:
Resolvendo para $ r $:
Passo 5
Com o valor de $ r $ encontrado, podemos substituir novamente na primeira equação para encontrar $ t $:
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são:
Onde $ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $ e $ k’ = \sqrt{\frac{2m(E - V_0)}{\hbar^2}} $.