Uma partícula é lançada com uma velocidade de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a 37^{\circ} em relação à horizontal. Determine a velocidade, o deslocamento e as coordenadas da partícula (em relação ao ponto de partida) após 2 segundos.

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo de uma partícula com velocidade inicial de 50\\ \mathrm{m/s} formando um ângulo de 37^\circ com a horizontal. Vamos usar cinemática bidimensional sob aceleração constante (gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} para baixo). Precisamos:
  1. Componentes da velocidade inicial.
  2. Equações para velocidade e posição em função do tempo.
  3. Avaliar essas equações em t=2\\ \mathrm{s} para obter velocidade, deslocamento e coordenadas.

Passo 2

Separamos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical por meio de funções trigonométricas. Usando as aproximações \cos37^\circ\approx0{,}8 e \sin37^\circ\approx0{,}6,
v_{x0} = v_0 \cos37^\circ = 50 \times 0{,}8 = 40\\ \mathrm{m/s},
v_{y0} = v_0 \sin37^\circ = 50 \times 0{,}6 = 30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

As componentes da velocidade no instante t são dadas por
v_x(t)=v_{x0},
v_y(t)=v_{y0}-g\,t.
Em t=2\\ \mathrm{s},
v_x(2)=40\\ \mathrm{m/s},
v_y(2)=30-9{,}8\times2=30-19{,}6=10{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

A velocidade resultante é o vetor \vec v(2)=(v_x(2),\,v_y(2)). Seu módulo e direção em relação à horizontal são
|\vec v(2)|=\sqrt{40^2+10{,}4^2}=\sqrt{1600+108{,}16}\approx41{,}3\\ \mathrm{m/s},
\theta_v=\arctan\bigl(\tfrac{v_y(2)}{v_x(2)}\bigr)=\arctan\bigl(\tfrac{10{,}4}{40}\bigr)\approx14{,}6^\circ\\ \text{acima da horizontal}.

Passo 5

As coordenadas da partícula vêm das equações do movimento:
x(t)=v_{x0}\,t,
y(t)=v_{y0}\,t-\tfrac12\,g\,t^2.
Em t=2\\ \mathrm{s}:
x(2)=40\times2=80\\ \mathrm{m},
y(2)=30\times2-4{,}9\times2^2=60-19{,}6=40{,}4\\ \mathrm{m}.
O deslocamento vetorial é \Delta \vec r=(80,\,40{,}4)\\ \mathrm{m}. Seu módulo e direção:
|\Delta \vec r|=\sqrt{80^2+40{,}4^2}\approx89{,}7\\ \mathrm{m},
\theta_r=\arctan\bigl(\tfrac{40{,}4}{80}\bigr)\approx26{,}8^\circ\\ \text{acima da horizontal}.

Resposta

Velocidade em t=2\\ \mathrm{s}: \vec v=(40\,\hat\imath+10{,}4\,\hat\jmath)\\ \mathrm{m/s}, |\vec v|\approx41{,}3\\ \mathrm{m/s} a 14{,}6^\circ acima da horizontal.
Deslocamento em t=2\\ \mathrm{s}: \Delta \vec r=(80\,\hat\imath+40{,}4\,\hat\jmath)\\ \mathrm{m}, |\Delta \vec r|\approx89{,}7\\ \mathrm{m} a 26{,}8^\circ acima da horizontal.
Coordenadas:
(x,y)=(80\\ \mathrm{m},\;40{,}4\\ \mathrm{m}).

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