Uma partícula de massa m=0,483 \mathrm{~kg} se move sob a ação de uma força variável. A posição da particula é dada pela equação: \mathbf{r}(t)=\left(a+b t^{2}\right) \mathbf{i}+\left(c t^{3}\right) \mathbf{j}, com \mathbf{r} em metros e t em segundos; i e j são os versores unitários nas direções x e y, respectivamente. Os valores de a, b e c são conhecidos e iguais a: a=3,55 \mathrm{~m}, b=-2,76 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e c=8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3}.
(a) Calcule a velocidade média da partícula entre t=0 e t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente x da velocidade calculada?
(a) ( 5 pontos) (A) -6,14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (B) -2,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (C) -8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (D) -3,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (E) -2,30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (F) -1,12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (G) -4,54 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (H) -1,84 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (I) -5,52 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (J) -1,39 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (K) -1,24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (L) -7,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (M) -4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s},
(b) E a componente y entre os mesmos instantes?
(b) (5 pontos) (A) 8,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (B) 4,04 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (C) 18,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (D) 13,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (E) 5,76 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (F) 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (G) 23,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (H) 6,88 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (I) 15,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (J) 27,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (K) 32,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (L) 11,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (M) 4,96 \mathrm{~m} / \mathrm{s},
(c) Agora calcule a velocidade instantânea em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual sua componente na direção x ?
(c) (5 pontos) (A) -1,84 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (B) -2,78 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (C) -8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (D) -9,36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (E) -3,69 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (F) -12,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (G) -6,14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (H) -2,23 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (I) -2,48 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (J) -3,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (K) -11,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (L) -16,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (M) -1,39 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (N) -5.52 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (O) -4.60 \mathrm{~m} / \mathrm{s},
(d) E na direção y ?
(d) ( 5 pontos) (A) 27,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (B) 47,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (C) 96,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (D) 12,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (E) 83,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (F) 20,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (G) 14,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (H) 56,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (I) 23,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (J) 35,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (K) 4,96 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (L) 10,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (M) 9,24 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (N) 32,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, (O) 4,16 \mathrm{~m} / \mathrm{s},
(e) (10 pontos) questão aberta, responda na folha avulsa
(f) Calcule a força que atua sobre a partícula em t_{1}=2,00 \mathrm{~s}. Qual a componente dessa força na direção x ?
(f) (5 pontos) (A) -2,67 \mathrm{~N}, (B) -4,54 \mathrm{~N}, (C) -13,0 \mathrm{~N}, (D) -1,14 \mathrm{~N}, (E) -32,3 \mathrm{~N}, (F) -18,9 \mathrm{~N}, (G) -5,52 \mathrm{~N}, (H) -1,66 \mathrm{~N}, (I) -8,00 \mathrm{~N}, (J) -3,26 \mathrm{~N}, (K) -6,08 \mathrm{~N}, (L) -9,43 \mathrm{~N}, (M) -0,917 \mathrm{~N}, (N) -14,8 \mathrm{~N}, (O) -2,14 \mathrm{~N},
(g) E a componente da força na direção y ?
(g) (5 pontos) (A) 32,0 \mathrm{~N}, (B) 235 \mathrm{~N}, (C) 273 \mathrm{~N}, (D) 70,8 \mathrm{~N}, (E) 40,4 \mathrm{~N}, (F) 54,7 \mathrm{~N}, (G) 12,8 \mathrm{~N}, (H) 61,2 \mathrm{~N}, (I) 27,7 \mathrm{~N}, (J) 96,0 \mathrm{~N}, (K) 84,4 \mathrm{~N}, (L) 46,4 \mathrm{~N}, (M) 186 \mathrm{~N}, (N) 15,5 \mathrm{~N}, (O) 36,4 \mathrm{~N}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição
\mathbf{r}(t)=\bigl(a + b\,t^2\bigr)\,\mathbf{i} \;+\;\bigl(c\,t^3\bigr)\,\mathbf{j},
com a=3,55,m, b=-2,76,m/ s^{2}, c=8,00,m/ s^{3}, e pede
  1. a velocidade média entre t=0 e t_1=2{,}00,s (componentes x e y),
  2. a velocidade instantânea em t_1 (componentes x e y),
  3. a força em t_1 (componentes x e y), sabendo que m=0,483,kg.

Passo 2

Para a velocidade média usamos
\mathbf{v}_{\rm m}=\frac{\mathbf{r}(2)-\mathbf{r}(0)}{2-0}.
No eixo x:
x(2)=a + b\,(2)^2 =3,55 +(-2,76)\cdot4= -7,49\\ {\rm m},\quad x(0)=a=3,55\\ {\rm m},
\Delta x=-7,49-3,55=-11,04\\ {\rm m},\quad v_{x,{\rm m}}=\frac{\Delta x}{2}=-5,52\\ {\rm m/s}.

Passo 3

No eixo y:
y(2)=c\,(2)^3=8,00\cdot8=64\\ {\rm m},\quad y(0)=0,
\Delta y=64\\ {\rm m},\quad v_{y,{\rm m}}=\frac{\Delta y}{2}=32,0\\ {\rm m/s}.

Passo 4

A velocidade instantânea é \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}. Logo
v_x(t)=2\,b\,t,\quad v_y(t)=3\,c\,t^2.
Em t=2,s:
v_x(2)=2\cdot(-2,76)\cdot2=4\,b=-11,04\\ {\rm m/s}\approx -11,0\\ {\rm m/s}.

Passo 5

Ainda em t=2,s:
v_y(2)=3\cdot8,00\cdot(2)^2=3\cdot8\cdot4=96,0\\ {\rm m/s}.

Passo 6

A aceleração é \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}, ou seja
a_x(t)=2\,b,\quad a_y(t)=6\,c\,t.
Em t=2,s:
a_x=2\cdot(-2,76)=-5,52\\ {\rm m/s^2},\quad a_y=6\cdot8,00\cdot2=96,0\\ {\rm m/s^2}.
A força é \mathbf{F}=m\,\mathbf{a}. Assim
F_x=0,483\cdot(-5,52)=-2,67\\ {\rm N},\quad F_y=0,483\cdot96,0=46,4\\ {\rm N}.

Resposta

(a) v_{x,{\rm m}}=-5,52 m/s, alternativa (I)
(b) v_{y,{\rm m}}=32,0 m/s, alternativa (K)
(c) v_x(2)=-11,0 m/s, alternativa (K)
(d) v_y(2)=96,0 m/s, alternativa (C)
(f) F_x=-2,67 N, alternativa (A)
(g) F_y=46,4 N, alternativa (L)

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