Uma partícula de massa
está conectada a um eixo vertical que gira com velocidade angular
por duas cordas de comprimento
, cada uma fazendo um ângulo fixo
com o eixo. A gravidade aponta para baixo. Determine as trações
(corda superior) e
(corda inferior) em função de
e
.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
presa a um eixo vertical que gira com velocidade angular
. A partícula liga-se ao eixo por duas cordas idênticas de comprimento
, cada uma formando um ângulo fixo
com o eixo. Devido à rotação a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio
no plano horizontal, enquanto permanece estacionária no vertical sob a ação da gravidade
. Precisamos achar as trações
(corda superior) e
(corda inferior) em função de
e
. O conteúdo envolve dinâmica do movimento circular (força centrípeta) e equilíbrio de forças na direção vertical.
Passo 2
Desenhamos o diagrama de forças sobre a partícula e definimos dois eixos:
- eixo vertical
para cima; - eixo radial
apontando para dentro (direção do centro da rotação).
Forças atuantes:
- Tensão da corda superior
, com direção inclinada para dentro e para cima, fazendo ângulo com o eixo vertical. - Tensão da corda inferior
, com direção inclinada para dentro e para baixo, também com ângulo em relação ao vertical. - Peso
atuando para baixo.
Projetando cada tensão:
- componente radial (inward):
- componente vertical:
(o sinal “ ” em indica que essa componente puxa para baixo).
Passo 3
Equilíbrio radial (movimento circular uniforme exige força centrípeta
para dentro):
Como
, simplifica-se para
Passo 4
Equilíbrio vertical (não há aceleração no eixo
):
Logo,
Passo 5
Resolvendo o sistema linear
somamos e subtraímos para obter: