Uma partícula de massa m está conectada a um eixo vertical que gira com velocidade angular \omega por duas cordas de comprimento l, cada uma fazendo um ângulo fixo \alpha com o eixo. A gravidade aponta para baixo. Determine as trações T_{\text {up }} (corda superior) e T_{\text {low }} (corda inferior) em função de m, l, \omega, \alpha e g.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m presa a um eixo vertical que gira com velocidade angular \omega. A partícula liga-se ao eixo por duas cordas idênticas de comprimento l, cada uma formando um ângulo fixo \alpha com o eixo. Devido à rotação a partícula descreve um movimento circular uniforme de raio
r = l\sin\alpha
no plano horizontal, enquanto permanece estacionária no vertical sob a ação da gravidade mg. Precisamos achar as trações T_{\text{up}} (corda superior) e T_{\text{low}} (corda inferior) em função de m,\;l,\;\omega,\;\alpha e g. O conteúdo envolve dinâmica do movimento circular (força centrípeta) e equilíbrio de forças na direção vertical.

Passo 2

Desenhamos o diagrama de forças sobre a partícula e definimos dois eixos:
  • eixo vertical z para cima;
  • eixo radial r apontando para dentro (direção do centro da rotação).
Forças atuantes:
  1. Tensão da corda superior T_{\text{up}}, com direção inclinada para dentro e para cima, fazendo ângulo \alpha com o eixo vertical.
  2. Tensão da corda inferior T_{\text{low}}, com direção inclinada para dentro e para baixo, também com ângulo \alpha em relação ao vertical.
  3. Peso \,m g atuando para baixo.
Projetando cada tensão:
  • componente radial (inward): T_{\text{up}}\sin\alpha \quad\text{e}\quad T_{\text{low}}\sin\alpha
  • componente vertical: +\,T_{\text{up}}\cos\alpha \quad\text{e}\quad -\,T_{\text{low}}\cos\alpha(o sinal “ -” em T_{\text{low}}\cos\alpha indica que essa componente puxa para baixo).

Passo 3

Equilíbrio radial (movimento circular uniforme exige força centrípeta m\omega^2 r para dentro):
T_{\text{up}}\sin\alpha \;+\; T_{\text{low}}\sin\alpha \;=\; m\,\omega^2\,r \quad\text{com}\quad r = l\sin\alpha.
Como \sin\alpha\neq0, simplifica-se para
T_{\text{up}} + T_{\text{low}} = m\,\omega^2\,l.

Passo 4

Equilíbrio vertical (não há aceleração no eixo z):
T_{\text{up}}\cos\alpha \;-\; T_{\text{low}}\cos\alpha \;-\; m g = 0 \quad\Longrightarrow\quad (T_{\text{up}} - T_{\text{low}})\cos\alpha = m g.
Logo,
T_{\text{up}} - T_{\text{low}} = \frac{m g}{\cos\alpha}.

Passo 5

Resolvendo o sistema linear
\begin{cases} T_{\text{up}} + T_{\text{low}} = m\,\omega^2\,l,\\\ T_{\text{up}} - T_{\text{low}} = \dfrac{m g}{\cos\alpha}, \end{cases}
somamos e subtraímos para obter:
T_{\text{up}} = \frac{1}{2}\Bigl(m\,\omega^2\,l + \tfrac{m g}{\cos\alpha}\Bigr), \qquad T_{\text{low}} = \frac{1}{2}\Bigl(m\,\omega^2\,l - \tfrac{m g}{\cos\alpha}\Bigr).

Resposta

T_{\text{up}} = \frac{m\,\omega^2\,l}{2} \;+\;\frac{m\,g}{2\,\cos\alpha}, \qquad T_{\text{low}} = \frac{m\,\omega^2\,l}{2} \;-\;\frac{m\,g}{2\,\cos\alpha}.

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