Uma partícula de massa m está confinada em uma caixa unidimensional entre x=0 e x=L. Determine o valor esperado da posição x da partícula no estado caracterizado pelo número quântico n.

Passo 1

Beleza, aqui a questão diz o seguinte: “Uma partícula de massa m está presa num “poço” unidimensional entre x=0 e x=L. No estado quantizado de número n, qual é o valor esperado de x?”
Conteúdo: mecânica quântica básica, poço infinito de potencial, função de onda estacionária e valor esperado (expectation value).
O que precisamos saber/resgatar:
  1. A forma da função de onda no poço infinito: .
  2. A definição de valor esperado de uma grandeza (aqui x): .
  3. Alguns truques de integral (identidade de e, se precisar, integração por partes).

Passo 2

Primeiro, a função de onda normalizada para o poço infinito de 0 a L no modo n é
psin(x) = raiz2L;sin!l(npi xLr),
com . Ela já vem “quadrado-integrável” e obedecendo fronteiras .

Passo 3

Agora, o valor esperado de x é dado por
lang<= xrang<= ;=;integral0^Lpsin^*(x);x;psin(x),dx ;=;integral0^Lx,l|psin(x)r|^2,dx
Como é real, e .

Passo 4

Substituindo,
lang<= xrang<= = integral0^L x;2L,sin^2!l(npi xLr),dx = 2Lintegral0^L x,sin^2!l(npi xLr),dx
Para calcular sin^2theta = 1-cos(2theta)2 , usamos a identidade
sin^2!l(npi xLr) = tfrac12 - tfrac12cos!l(tfrac2npi xLr)
Então
lang<= xrang<= = 2Lintegral0^L xl(tfrac12 - tfrac12cos!tfrac2npi xLr)dx = 1Lintegral0^L x,dx - 1Lintegral0^L x,cos!l(tfrac2npi xLr),dx
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Passo 5

  1. x,L2npisin!l(tfrac2npi xLr)|0^L - integral0^L1cdotL2npisin!l(tfrac2npi xLr),dx
  2. Para , fazemos integração por partes:
    • ,
    • , então .
      A integral vira
Note que e , então o termo de fronteira some.
E também, porque .
Isso prova que a segunda integral é zero.

Resposta

Portanto, só sobra
lang<= xrang<= = 1L,L^22 ;=;L2
Ou seja, o valor esperado da posição é exatamente o ponto médio da caixa:
boxedlang<= xrang<= = L2

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