A pressão §, exercida por um líquido em movimento sobre a parede de uma tubulação, é diretamente proporcional a massa específica volumétrica \mathcal{D} do líquido e depende ainda da velocidade média (V) do líquido(v) e do seu raio hidráulico. Determine a fórmula que dá esta dependência.
P=k \rho v^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma fórmula:
  • Dados: a pressão sobre a parede P (pressão exercida por um líquido em movimento), a massa específica volumétrica do líquido \mathcal{D} (vou usar o símbolo \rho para isso), a velocidade média do líquido v e o raio hidráulico r.
  • Relação informada no enunciado: P = k \rho v^{2} (parece já indicar uma forma, mas o enunciado também diz que depende do raio r; a tarefa é determinar a fórmula que expressa essa dependência).
  • O que se pede: determinar a expressão que relaciona P com \rho, v e r, isto é, encontrar como P depende dessas grandezas (e se o raio aparece ou não nessa dependência).

Passo 2

Estratégia para resolver (sem resolver ainda): usamos análise dimensional (método de Buckingham-π). Por quê? Porque queremos descobrir, apenas a partir das dimensões físicas das variáveis, qual combinação das grandezas pode gerar uma pressão. Esse método é indicado quando se quer achar dependências funcionais sem conhecer constantes numéricas: verificamos combinações adimensionais e daí obtemos a forma geral da relação.

Passo 3

Identificação das dimensões fundamentais das variáveis (escrevo cada dimensão em termos de massa M, comprimento L e tempo T):
  • Pressão P: dimensão de força por área. Como força tem dimensão M L T^{-2} e área L^{2}, a pressão tem dimensão
[P] = M L^{-1} T^{-2}.
  • Massa específica volumétrica \rho: massa por volume, logo
[\rho] = M L^{-3}.
  • Velocidade média v:
[v] = L T^{-1}.
  • Raio hidráulico r:
[r] = L.

Passo 4

Aplicando Buckingham-π: temos n=4 variáveis ( P,\rho,v,r) e k=3 dimensões fundamentais ( M,L,T). Logo haverá n-k=1 grupo adimensional independentemente da escolha. Isso significa que existe uma única combinação adimensional \pi que liga essas variáveis; portanto a relação pode ser escrita como uma equação do tipo
\Phi(\pi)=0
ou, equivalente, \pi=\text{const}. Vamos construir \pi.

Passo 5

Construção do grupo adimensional \pi. Procuro uma combinação do tipo
\pi = P\,\rho^{a}\,v^{b}\,r^{c}
e escolho os expoentes a,b,c de modo que \pi seja adimensional. Escrevo as dimensões de \pi e imponho que os expoentes de M,L,T sejam zero.
Dimensões da combinação:
  • Potência de M: a partir de [P]=M^{1}L^{-1}T^{-2} e [\rho]=M^{1}L^{-3}, a contribuição total em M é 1 + a. Impor adimensionalidade dá
1 + a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
  • Potência de T: P contribui com T^{-2}, v contribui com T^{-1} ao expoente b. Então
-2 + (-1)\cdot 0 + b(-1) = 0 \quad\text{ou simplesmente}\quad -2 - b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -2.
(mais explicitamente: a contribuição de T é -2 de P, 0 de \rho, e -b de v^{b}, daí -2 - b = 0.)
  • Potência de L: contribuição é -1 de P, -3a de \rho^{a}, b de v^{b} e c de r^{c}. Substituindo a=-1 e b=-2,
-1 -3(-1) + (-2) + c = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 +3 -2 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 0.

Passo 6

Concluímos os expoentes: a=-1, b=-2, c=0. Então o grupo adimensional fica
\pi = P\,\rho^{-1}\,v^{-2}\,r^{0} = \frac{P}{\rho v^{2}}.
Como há apenas esse grupo adimensional, a relação entre as variáveis é
\frac{P}{\rho v^{2}} = \text{constante adimensional }k.
Isolando P,
P = k\,\rho\,v^{2}.

Passo 7

Interpretação física e comentários didáticos:
  • O raio hidráulico r apareceu com expoente c=0, ou seja, na dependência dimensional pura entre P,\rho,v,r ele não influencia: a combinação \rho v^{2} já tem dimensões de pressão, então qualquer pressão que dependa apenas dessas três grandezas deve ser proporcional a \rho v^{2} com um fator adimensional k.
  • O fator k é adimensional e encapsula detalhes que a análise dimensional não determina (por exemplo, perfil de velocidade, forma da tubulação, efeitos de perda, etc.). Em situações de dinâmica de fluidos ideais (Bernoulli), o termo dinâmico costuma aparecer como \tfrac{1}{2}\rho v^{2}, isto é k=\tfrac{1}{2}. Mas aqui, sem hipóteses extras, só podemos afirmar que k é adimensional e constante em relação às grandezas listadas.
  • Se outras variáveis relevantes existirem (por exemplo, viscosidade cinemática \nu ou densidade do ar externa, rugosidade com dimensão etc.), então surgiriam outros números adimensionais (como o número de Reynolds) e k poderia depender desses números; mas com as quatro grandezas dadas, a forma obtida é única.

Resposta

P = k \rho v^{2}

Exercícios relacionados