A pressão §, exercida por um líquido em movimento sobre a parede de uma tubulação, é diretamente proporcional a massa específica volumétrica
do líquido e depende ainda da velocidade média (V) do líquido(v) e do seu raio hidráulico. Determine a fórmula que dá esta dependência.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma fórmula:
- Dados: a pressão sobre a parede
(pressão exercida por um líquido em movimento), a massa específica volumétrica do líquido (vou usar o símbolo para isso), a velocidade média do líquido e o raio hidráulico . - Relação informada no enunciado:
(parece já indicar uma forma, mas o enunciado também diz que depende do raio ; a tarefa é determinar a fórmula que expressa essa dependência). - O que se pede: determinar a expressão que relaciona
com , e , isto é, encontrar como depende dessas grandezas (e se o raio aparece ou não nessa dependência).
Passo 2
Estratégia para resolver (sem resolver ainda): usamos análise dimensional (método de Buckingham-π). Por quê? Porque queremos descobrir, apenas a partir das dimensões físicas das variáveis, qual combinação das grandezas pode gerar uma pressão. Esse método é indicado quando se quer achar dependências funcionais sem conhecer constantes numéricas: verificamos combinações adimensionais e daí obtemos a forma geral da relação.
Passo 3
Identificação das dimensões fundamentais das variáveis (escrevo cada dimensão em termos de massa
, comprimento
e tempo
):
- Pressão
: dimensão de força por área. Como força tem dimensão e área , a pressão tem dimensão
- Massa específica volumétrica
: massa por volume, logo
- Velocidade média
:
- Raio hidráulico
:
Passo 4
Aplicando Buckingham-π: temos
variáveis (
) e
dimensões fundamentais (
). Logo haverá
grupo adimensional independentemente da escolha. Isso significa que existe uma única combinação adimensional
que liga essas variáveis; portanto a relação pode ser escrita como uma equação do tipo
ou, equivalente,
. Vamos construir
.
Passo 5
Construção do grupo adimensional
. Procuro uma combinação do tipo
e escolho os expoentes
de modo que
seja adimensional. Escrevo as dimensões de
e imponho que os expoentes de
sejam zero.
Dimensões da combinação:
- Potência de
: a partir de e , a contribuição total em é . Impor adimensionalidade dá
- Potência de
: contribui com , contribui com ao expoente . Então
(mais explicitamente: a contribuição de
é
de
,
de
, e
de
, daí
.)
- Potência de
: contribuição é de , de , de e de . Substituindo e ,
Passo 6
Concluímos os expoentes:
,
,
. Então o grupo adimensional fica
Como há apenas esse grupo adimensional, a relação entre as variáveis é
Isolando
,
Passo 7
Interpretação física e comentários didáticos:
- O raio hidráulico
apareceu com expoente , ou seja, na dependência dimensional pura entre ele não influencia: a combinação já tem dimensões de pressão, então qualquer pressão que dependa apenas dessas três grandezas deve ser proporcional a com um fator adimensional . - O fator
é adimensional e encapsula detalhes que a análise dimensional não determina (por exemplo, perfil de velocidade, forma da tubulação, efeitos de perda, etc.). Em situações de dinâmica de fluidos ideais (Bernoulli), o termo dinâmico costuma aparecer como , isto é . Mas aqui, sem hipóteses extras, só podemos afirmar que é adimensional e constante em relação às grandezas listadas. - Se outras variáveis relevantes existirem (por exemplo, viscosidade cinemática
ou densidade do ar externa, rugosidade com dimensão etc.), então surgiriam outros números adimensionais (como o número de Reynolds) e poderia depender desses números; mas com as quatro grandezas dadas, a forma obtida é única.