Uma partícula de massa de repouso
e energia cinética 4 MeV colide com uma partícula estacionária de massa de repouso
. Depois da colisão, as duas partículas ficam reunidas.
(b) Qual a velocidade final da partícula composta resultante? ( 10 pontos)
(b) Qual a velocidade final da partícula composta resultante? ( 10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente está lidando com colisão de partículas, que é um assunto da Relatividade Especial. Precisamos usar conceitos de energia, momento e como eles se comportam quando partículas colidem e se unem. Vamos precisar calcular a energia total das partículas, o momento delas e, por fim, achar a velocidade final da partícula composta após a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia total da partícula que está se movendo. A energia total $ E $ de uma partícula é a soma da sua energia de repouso $ E_0 $ e da energia cinética $ K $:
Dado que a massa de repouso $ E_0 = 3, \mathrm{MeV} $ e a energia cinética $ K = 4, \mathrm{MeV} $, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o momento $ p $ dessa partícula em movimento. Na Relatividade Especial, o momento é dado por:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 4
A outra partícula está estacionária, ou seja, sua velocidade é zero. Isso significa que seu momento inicial também é zero:
Passo 5
Após a colisão, as duas partículas se unem formando uma partícula composta. Vamos chamar a massa dessa partícula de $ M $ e sua velocidade final de $ V $. Precisamos encontrar $ V $.
Passo 6
Vamos usar a conservação do momento. O momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois:
Como a segunda partícula estava parada, o momento total inicial é apenas o da primeira partícula:
Aqui, $ \gamma $ é o fator de Lorentz, que é:
Passo 7
Para encontrar $ V $, precisamos expressar $ M $ e resolver a equação. A massa total $ M $ é a soma das massas de repouso das duas partículas:
Agora, substituímos na equação do momento:
Resolvendo essa equação para $ V $, encontramos a velocidade final da partícula composta.
Resposta
A velocidade final da partícula composta é aproximadamente $ V \approx 0,447, c $.