Responda:
a) Quantas voltas serão dadas em 15 segundos por um outro disco que possui a mesma massa do primeiro disco e metade do seu raio, tendo, porém, o mesmo momento angular?
b) Se os dois discos forem fabricados do mesmo material, qual a diferença entre eles além dos raios?
a) Quantas voltas serão dadas em 15 segundos por um outro disco que possui a mesma massa do primeiro disco e metade do seu raio, tendo, porém, o mesmo momento angular?
b) Se os dois discos forem fabricados do mesmo material, qual a diferença entre eles além dos raios?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois discos com a mesma massa, mas o segundo disco tem metade do raio do primeiro. Além disso, os dois discos têm o mesmo momento angular. A matéria envolvida aqui é o momento angular e a cinemática rotacional. Para resolver, vamos usar as fórmulas do momento angular e da rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular $ L $ é dado por:
onde $ I $ é o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 3
O momento de inércia para um disco sólido é:
onde $ m $ é a massa e $ r $ é o raio do disco.
Passo 4
Como os dois discos têm a mesma massa e o mesmo momento angular, podemos igualar as expressões:
Substituindo $ I $:
Passo 5
Simplificando a equação (já que a massa $ m $ é a mesma e cancela):
Sabemos que $ r_2 = \frac{r_1}{2} $, então substituindo:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ \omega_2 $:
Isso significa que a velocidade angular do segundo disco é quatro vezes a do primeiro.
Passo 7
Para achar o número de voltas $ N $ em 15 segundos, usamos:
onde $ t = 15 $ segundos.
Então, para o segundo disco:
Passo 8
Como não temos o valor de $ \omega_1 $, a resposta será em termos de $ \omega_1 $. Portanto, o segundo disco dará:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b) da questão. Queremos saber qual é a diferença entre os dois discos, além dos raios, sendo que ambos são feitos do mesmo material.
Passo 10
Como os discos têm a mesma massa $ m $ e são feitos do mesmo material, podemos relacionar suas dimensões usando a densidade $ \rho $. A massa de um disco é dada por:
onde $ V $ é o volume.
Passo 11
O volume de um disco é:
onde $ h $ é a altura (ou espessura) do disco.
Passo 12
Como a massa e a densidade são constantes para os dois discos:
Simplificando:
Sabemos que $ r_2 = \frac{r_1}{2} $, então:
Passo 13
Resolvendo para $ h_2 $:
Isso significa que o segundo disco tem quatro vezes a espessura do primeiro.
Resposta
b) Além dos raios, o segundo disco possui quatro vezes a espessura do primeiro.