Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
v(t)=2 t-1 /\left(1+t^{2}\right), \quad s(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula
v(t)=2t-\frac{1}{1+t^2}
e a condição inicial s(0)=1. Como v(t)=s'(t), basta calcular a antiderivada de v(t) e usar s(0)=1 para determinar a constante de integração.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva de v(t):
\int v(t)\,\mathrm{d}t = \int \Bigl(2t-\frac{1}{1+t^2}\Bigr)\,\mathrm{d}t.
Separamos em duas integrais:
\int 2t\,\mathrm{d}t = t^2,
\int \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t = \arctan(t).
Logo, uma primitiva geral é
s(t)=t^2-\arctan(t)+C.

Passo 3

Usamos s(0)=1:
s(0)=0^2-\arctan(0)+C = C = 1.
Portanto, C=1 e
s(t)=t^2-\arctan(t)+1.

Resposta

s(t)=t^2-\arctan(t)+1.

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