Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
a(t)=\operatorname{sen} t+3 \cos t, \quad s(0)=0, \quad v(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a aceleração da partícula \r
\;a(t)=\sin t+3\cos t\r
com as condições iniciais de posição e velocidade \r
\;s(0)=0,\quad v(0)=2. \r
Para encontrar s(t) precisamos integrar duas vezes: primeiro para obter v(t), depois para s(t), aplicando as condições iniciais em cada integração.

Passo 2

Integramos a(t) para obter v(t). \r
\int a(t)\,dt=\int(\sin t+3\cos t)\,dt=-\cos t+3\sin t+C_1. \r
Logo \r
\;v(t)=-\cos t+3\sin t+C_1.

Passo 3

Usamos v(0)=2 para determinar C_1. \r
Em t=0: -\cos0+3\sin0+C_1=-1+0+C_1=2, logo C_1=3. \r
Portanto \r
\;v(t)=-\cos t+3\sin t+3.

Passo 4

Agora integramos v(t) para achar s(t): \r
\int v(t)\,dt=\int\bigl(-\cos t+3\sin t+3\bigr)\,dt=-\sin t-3\cos t+3t+C_2. \r
Então \r
\;s(t)=-\sin t-3\cos t+3t+C_2.

Passo 5

Usamos s(0)=0 para determinar C_2. \r
Em t=0: -\sin0-3\cos0+3\cdot0+C_2=0-3+0+C_2=0, logo C_2=3. \r
Assim \r
\;s(t)=-\sin t-3\cos t+3t+3.

Resposta

\boxed{s(t)=3t-\sin t-3\cos t+3.}

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