Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.
a(t)=\operatorname{sen} t+3 \cos t, \quad s(0)=0, \quad v(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a aceleração \displaystyle a(t)=\sin t + 3\cos t e as condições iniciais \,s(0)=0 e \,v(0)=2. O conteúdo é cinemática unidimensional com aceleração variável: primeiro integramos a(t) para obter v(t), usando a condição em t=0 para achar a constante de integração; depois integramos v(t) para obter s(t) e usamos s(0)=0.

Passo 2

Integramos
a(t)=\sin t+3\cos t
para obter a velocidade genérica:
v(t)=\int\bigl(\sin t+3\cos t\bigr)\,dt =-\cos t+3\sin t+C_{1}.
Aplicando v(0)=2:
v(0)=-\cos0+3\sin0+C_{1}=-1+0+C_{1}=2 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=3.
Logo,
v(t)=-\cos t+3\sin t+3.

Passo 3

Agora integramos
v(t)=-\cos t+3\sin t+3
para obter a posição genérica:
s(t)=\int\bigl(-\cos t+3\sin t+3\bigr)\,dt =-\sin t-3\cos t+3t+C_{2}.
Usando s(0)=0:
s(0)=-\sin0-3\cos0+3\cdot0+C_{2}=0-3+0+C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=3.
Portanto,
s(t)=-\sin t-3\cos t+3t+3.

Resposta

s(t)=-\sin t-3\cos t+3t+3.

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